3.2 Дотичні напруження при крученні для стержня круглого чи кільцевого перерізу

Попередньо розглянемо експериментальні результати кручення стержнів круглого перерізу. На валу (рис.17а) відзначимо утворюючі (меридіани) та поперечні перерізи (паралелі):

Рис. 17

1. При крученні поперечні перерізи стержня повертаються навколо його осі і відносно один одного.

2. Утворюючі повертаються на один і той же кут . Квадрати перетворюються в ромби, прямі кути змінюються, як і у випадку чистого зсуву (рис. 17а). Це свідчить про те, що виділений елементарний обсяг будь-якого шару вала знаходиться в умовах чистого зсуву.

3. При крученні стержня круглого перерізу дотримується гіпотеза плоских перерізів: переріз плоский і нормальний до осі до деформації залишається плоским і нормальним до осі в процесі деформації.

4. Відстані між перерізами в процесі деформації не змінюються ( ), це підтверджує відсутність у перерізі нормальних напружень.

5. Довжина і прямолінійність радіусів перерізів не порушується, тобто дотичні напруження у будь-якій точці перерізу перпендикулярні радіусу (рис. 17б).

Розглянемо стержень діаметром , довжиною , що навантажений моментом (рис. 18а). На відстані виділимо елемент довжиною і розглянемо його рівновагу (рис. 18б). У лівому перерізі прикладемо діючий у ньому крутний момент , а в правому перерізі замінимо напруженням, що діє на елементарній площадці з координатами , , як показано на рис.18б.

Рис. 18а	Рис. 18б

Рис. 18в	Рис. 18г

Вважаючи, що початок координат співпадає з центром ваги О перерізу, запишемо рівняння статичної рівноваги від елементарної сили , що діє на площадці (результуюча сила ):

(2.2)

(2.3)

. (2.4)

Так як невідомі величина і закон розподілу дотичного напруження , кут кручення, положення нуля напружень, то рівняння рівноваги розв’язати неможливо. Таким чином задача є статично невизначеною.

Для розкриття статичної невизначуваності проведемо геометричний аналіз деформацій при крученні. Для цього з нескінченно малої ділянки вала довжиною виділимо нескінченно тонке кільце товщиною (рис.18в). Умовно вважаємо, що лівий переріз нерухомий. Правий переріз нескінченно малого циліндра повернеться навколо осі на кут , причому назвемо абсолютним кутом закручування, який є переміщенням при крученні. Утворюючі і на бічній поверхні циліндра переміщаються в положення і відповідно, зміщаючись на кут зсуву .

Обчислимо довжину дуги (рис. 18в), розглядаючи спочатку криволінійний трикутник аbb₁: , так як у межах малих пружних деформацій . Розглядаючи потім криволінійний трикутник Оbb₁, величина дуги виявляється рівною . Зневажаючи нескінченно малими величинами другого порядку, одержуємо , відкіля . Вводячи відносний кут закручування:

, (2.5)

одержимо рівняння спільності деформацій при крученні:

(2.6)

Так як в нескінченно малому елементі виникає напружений стан (рис. 18г), то в межах малих деформацій виконується при зсуві:

(2.7)

Підставляючи вираз (2.6) у (2.7), одержимо:

. (2.8)

Остання залежність виражає закон Гука при крученні, на підставі якого можна зробити висновок про те, що дотичні напруження в перерізі змінюються по лінійному закону – пропорційно радіусу .

Підставляючи залежність (2.8) у рівняння (2.2) і з обліком того, що і є постійними величинами, а , одержимо:

Після аналогічної підстановки залежності (2.8) у рівняння (2.3) одержимо:

З останніх рівнянь випливає, що статичні моменти , площі перерізу щодо осей , дорівнюють нулю, оскільки і не дорівнюють нулю.

Статичні моменти площі тільки відносно центральних осей дорівнюють нулю. Таким чином осі , є центральними осями перерізу. Іншими словами, центр кручення збігається з центром ваги перерізу.

Підставляючи залежність (2.8) у рівняння (2.4), і з обліком того, що інтеграл – полярний момент інерції перерізу, одержимо наступне:

,

а відносний кут закручування приймає вигляд:

(2.9)

Величина називається жорсткістю стержня при крученні. З виразу (2.8) одержуємо відносний кут закручування Дорівнюючи праві частини останніх виразів, одержуємо формулу для визначення дотичних напружень при крученні стержня круглого чи кільцевого перерізів:

(2.10)

З рівняння (2.5) з урахуванням виразу (2.9) одержуємо, що кут закручування дорівнює:

Отримане рівняння являється законом Гука при крученні для абсолютного переміщення – кута закручування. Після інтегрування по довжині стержня одержимо, що в даному випадку абсолютний кут закручування стержня можна обчислити за формулою:

(2.11)