Ортогональные системы функций и ряды Фурье
Опр
Бесконечная последовательность
элементов
евклидова
пространства
называется
ортогональной,
если ее элементы попарно ортогональны:
,
и ортонормированной,
если дополнительно эти элементы
нормированным:
,
то есть
.
Обозначение
- пространство функций имеющих разрывы
первого рода на отрезке
и
правые и левые производные в каждой
точке непрерывности.
-
скалярное произведение в
.
Пр
1 Последовательность
ортонормирована
в пространстве
,
а в последовательность
ортогональна
в
.
◄
Например,
при
.►
Обозначение
- формула
Эйлера
(короткое обозначение комплексного
числа вида
.
-сопряженное
к комплексному числу
.
Пр
2 Последовательность
функций
,
ортонормированна относительно скалярного
произведения
на множестве комплекснозначных функций
.
Опр
Пусть
-ортогональная
последовательность в евклидовом
пространстве
.
Числа
,
называются коэффициентами
Фурье
элемента
по системе
.
Сумма
называется
-ой
частичной суммой,
а ряд
- рядом
Фурье элемента
.
Пр
Ряд
,
где
называется
тригонометрическим
рядом Фурье
функции
по
ортогональной системе
с коэффициентами
.
Ряд
,
где
,
называется рядом
Фурье в комплексной форме
функции
по
ортогональной системе
с коэффициентами
.
Опр
Член
называется
-ой
гармоникой
тригонометрического ряда
.
Если положить
и определить угол
из системы
,
то
-ю
гармонику можно записать в виде
.
Опр
Пусть
есть тригонометриче ский ряд Фурье
-периодической
функции
.
Последовательность
или
называется
спектром
периодической функции
;
- амплитудой
-ой
гармоники;
- фазой
-ой
гармоники.
- основная
частота;
-
-ая
гармоническая частота.
- основная
круговая частота;
-
-ая
круговая частота
функции
.
ТЕОРЕМА
8.2 (свойства
поточечной сходимости тригонометрического
ряда Фурье) 1)
Пусть
ортонормированная последовательность
в вещественном евклидовом пространстве
.
Для каждого элемента
существует единственный "многочлен"
степени
,
отклонение которого от элемента
будет наименьшим
.
2)
Для каждого элемента
гильбертова про-ва
его ряд Фурье сходится по норме
.
Для того, чтобы он сходился к самому
элементу, необходимо и достаточно, чтобы
имело место равенство
Парсеваля
.
3)
Для функции
ее тригонометрический ряд Фурье в каждой
точке
сходится к числу
.
4)
В условиях предыдущего пункта
представима в этом же смысле в виде ряда
Фурье в комплексной форме
,
причем
и коэффициенты
связаны равенством
.
5)
Если функция
четная (нечетная) на
и удовлетворяет условиям пункта 3), то
,
то есть она разлагается в ряд
по косинусам
(по синусам)
на оси. При этом
.
◄ 4)
,
.
5)
Пусть, например,
является нечетной. Тогда
в силу свойств определенного интеграла
от четной и нечетной функций.
Пункты 1)-3) без доказательства. ►
ЗАМЕЧАНИЕ
(электротехнический
смысл) Для
функции
равенство Парсеваля принимает вид
.
Для периодического с периодом
на
аналогового сигнала (тока, напряжения)
величина
называется квадратическим
(действующим)
значением сигнала.
Нетрудно убедиться, что для
-ой
гармоники
такого сигнала квадрат действующего
значения равен
.
В этих обозначениях равенство Парсеваля
принимает вид
.
То есть квадрат действующего значения
сигнала равен сумме квадратов действующих
значений составляющих его гармоник.