Будем искать решение последнего уравнения в виде

.

После двукратного дифференцирования последнего выражения и подстановки в уравнение (7.16), находим

Итак, справедливо приближенное равенство

. (7.17)

Используя пакет Mathcad, сравним полученное решение (7.17) с точным решением исходного уравнения на периоде . Для этого найдем для решения (7.17) значения x(0) и , после чего найдем решение исходного уравнения с заданными начальными условиями, например, методом Рунге-Кутта. Результаты расчетов приведены ниже.

Исследуемое уравнение:

График для =0.5 (жирная линия – решение методом Рунге-Кутта)

График для =0.3 (жирная линия – решение методом Рунге-Кутта)

Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Автономные уравнения

Пусть задано уравнение, правая часть которого не зависит явно от t:

. (8.1)

Отсутствие t в правой части приводит к усложнению задачи, так как период искомого решения оказывается неизвестным. Он будет, вообще говоря, зависеть от параметра .

Для решения задачи в этом случае нужно преобразовать уравнение к новой независимой переменной так, чтобы по новой переменной уравнение уже имело постоянный период, а уже затем искать решение в виде ряда по параметру.

Предварительно выполним в (8.1) замену времени, положив . Тогда в новом времени уравнение примет вид:

, (8.2)

где производные и вычислены по переменной t₁, а .

При =0 порождающее уравнение имеет 2-периодическое решение вида , удовлетворяющее начальным условиям . Периодические решения уравнения (3.3.2), если они существуют, будут иметь период , причем – аналитическая функция  и при . Пусть:

.

Тогда:

.

Преобразуем уравнение (8.2) так, чтобы его решение имело постоянный период 2. Этого можно добиться заменой переменных:

(8.3)

Действительно, если t₁ меняется от 0 до , то  меняется от 0 до 2.

В новых переменных уравнение (8.2) приобретает вид:

(8.4)

где все производные вычислены по переменной .

Периодическое решение уравнения (8.4) будем искать в виде ряда

, (8.5)

где все – 2-периодические функции переменной . Подставляя (8.5) в уравнение (8.4), получим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра  в левой и правой частях последнего равенства, последовательно получим:

(8.6)

Для того, чтобы второе уравнение в (8.6) имело периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы в его правой части отсутствовали резонирующие члены, то есть чтобы выполнялись условия:

(8.7)

Первое из этих уравнений дает возможность найти С (начальное условие периодического решения), а второе – найти h₁. Таким образом, будет приближенно определен период искомого периодического решения:

.

Зная С и h₁, можно определить и, если это необходимо, , и так далее.

Пример 8.1. Определить решения порождающего уравнения, к которым при приближаются периодические решения уравнения:

(8.8)

Решения порождающего уравнения имеют вид . Для определения искомых значений С воспользуемся первым из уравнений (8.7):

При С=0 получаем тривиальное решение порождающего уравнения, которое остается решением уравнения (8.8) при любом .

При получаем .

Теорема Ляпунова и несколько практических замечаний

Теорема Ляпунова выделяет класс систем, у которых в некоторой окрестности состояния равновесия существует периодическое решение и дает метод отыскания этого решения.

Теорема 8.1. Если уравнение обладает аналитическим первым интегралом , причем разложение в окрестности точки начинается с членов второго порядка малости:

,

то все решения уравнения с достаточно малыми начальными условиями есть периодические функции t. Каждое такое решение является аналитической функцией параметра с.

Сформулированная теорема позволяет искать период периодического решения уравнения

в виде

и вводить новое время по формуле

, (8.9)

не вводя малого параметра . При этом решение следует искать в виде ряда

(8.10)

Заметим, что если в уравнении не присутствует явно малый параметр и при этом в окрестности состояния равновесия выполнены условия теоремы Ляпунова, то для поиска периодического решения можно либо воспользоваться его разложимостью в ряд по начальным отклонениям с (формулой (3.3.10)), либо ввести малый параметр и использовать разложение по степеням малого параметра.

Пример 8.2. Найти приближенно периодическое решение уравнения Дуффинга

. (8.11)

Для решения задачи можно ввести малый параметр:

.

Здесь  считаем малым. Теперь можно воспользоваться рассмотренной выше процедурой отыскания решения уравнения с малым параметром.

Заметим, что уравнение Дуффинга обладает аналитическим первым интегралом, для которого выполнены условия теоремы Ляпунова: . Поэтому данное уравнение можно решать, выполнив замену переменных (3.3.9) и отыскивая решение в виде ряда (8.10) по степеням начального возмущения с.

Выполним замену (8.9). Тогда

и уравнение примет вид

(8.12)

Решение будем искать в виде ряда (8.10). После двукратного дифференцирования и подстановки этого ряда в уравнение (8.12) будем иметь:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях с в обеих частях последнего равенства, получим

(8.13)

Начальные условия для этих уравнений определяются так:

(8.14)

Первое из уравнений (8.13) будет иметь общее решение вида . Из начальных условий находим, что . Итак, . Второе уравнение тогда примет вид

.

Для того, чтобы это уравнение имело периодическое решение, в его правой части должны отсутствовать резонирующие члены. Это имеет место лишь при . Таким образом, для получаем уравнение , из которого, с учетом начальных условий (8.14), находим .

Для получаем уравнение

.

Запишем условия отсутствия резонирующих членов в правой части этого уравнения:

Второе из выписанных соотношений всегда выполнено, а первое дает условие

Итак, следует искать из уравнения:

Отыскивая 2-периодическое решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , получим:

.

Итак,

.

Учитывая (8.9), окончательно получим

Пример 8.3. Найти приближенно периодическое решение уравнения:

Выполним замену времени . Тогда в новом времени исходное уравнение примет вид

(8.15)

Решение уравнения (8.15) будем искать в виде ряда (8.5). При этом будем искать решение с начальными условиями Тогда:

.

Здесь – решение порождающего уравнения, то есть уравнения (8.15) при . Поэтому

Сравнивая коэффициенты при в обеих частях равенства (8.15), найдем

Учитывая вид , получим

(8.16)

Найдем условия существования периодического решения у уравнения (8.16). Для этого запишем соотношения (8.7). Чтобы записать это соотношение, нужно последовательно умножить правую часть уравнения (8.16) на и и, проинтегрировав полученные выражения, приравнять интегралы в нулю. В данном случае (убедиться в этом самостоятельно) результатом реализации описанных операций будут соотношения:

Таким образом, c = 0 или . Для c = 0 получаем тривиальное решение порождающего уравнения, которое остается решением исследуемого уравнения при любом . Для c = 4 получаем периодическое решение порождающего уравнения Тогда для определения будем иметь уравнение

Итак, для получаем уравнение

(8.17)

Общее решение последнего уравнения имеет вид:

.

Дважды дифференцируя это выражение и подставляя в (8.17), найдем значения А и В:

Используя начальное условие , находим .

Итак, Теперь, приравнивая коэффициенты при слева и справа в (3.3.15), найдем (учитывая, что ):

.

Подставляя найденные выше значения и , получим

Запишем условия существования периодического решения для последнего уравнения

Теперь окончательно можем записать

Выпишем, наконец, приближенное решение исходного уравнения

Используя пакет Mathcad, сравним полученное решение с решением исходного уравнения методом Рунге-Кутта на периоде [0, 2].