2.2. Модифицированный метод Ньютона

Если матрицу Якоби вычислить и обратить лишь один раз в методе Ньютона, то придем к модифицированному методу Ньютона

(2.2.1)

• К преимуществам этого метода можно отнести то, что он требует значительно меньших вычислительных затрат на один итерационный шаг, т.к. матрица Якоби вычисляется только один раз.

• Однако недостатком является то, что итераций при этом может потребоваться значительно больше для достижения заданной точности по сравнению с основным методом Ньютона.

Критерий остановки: ,

Методика решения задачи

1. Задать начальное приближение и малое положительное число (точность). Положить .

2. Найти значение выражения .

3. Вычислить следующее приближение: .

4. Если и/или , процесс закончить и положить . Иначе, положить и перейти к п.2.

2.3. Рекурсивный метод Ньютона.

Компромиссный вариант – это вычисление и обращение матриц Якоби не на каждом итерационном шаге, а через несколько шагов (такие методы называют рекурсивными).

Например, простое чередование основного (2.1.7) и модифицированного методов Ньютона (2.2.1) приводит к итерационной формуле:

,

(2.3.1)

За здесь принимается результат последовательного применения одного шага основного, а затем одного шага модифицированного метода, т.е. двухступенчатого процесса

(2.3.2)

Доказано, что такой процесс при определенных условиях порождает кубически сходящуюся последовательность .

Критерий остановки: ,

Методика решения задачи

1. Задать начальное приближение и малое положительное число (точность). Положить .

2. Найти значение выражения .

3. Найти значение выражения .

4. Если или , процесс закончить и положить . Иначе, положить и перейти к п.2.

3. Метод простых итераций

Пусть система (1.1) имеет вид (или преобразована к виду):

(3.1)

или иначе, в компактной записи,

(3.2)

где:

(3.3)

Для этой задачи о неподвижной точке нелинейного отображения запишем формально рекуррентное равенство

,

(3.4)

которое определяет метод простых итераций (МПИ) (или метод последовательных приближений) для задачи (3.1).

Если начать процесс построения последовательности с некоторого вектора и продолжить по формуле (3.4), то при определенных условиях эта последовательность со скоростью геометрической прогрессии будет приближаться к вектору - неподвижной точке отображения . А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть функция и замкнутое множество таковы, что:

1. 

2. .

Тогда имеет в M единственную неподвижную точку ; последовательность , определяемая МПИ (3.4), при любом сходится к и справедливы оценки .

Однако практическая ценность такой теоремы не так велика из-за неконструктивности ее условий. В случаях, когда имеется хорошее начальное приближение к решению , больший интерес для приложений может представить следующий аналог теоремы 2.

Теорема 3. (о достаточном условии сходимости метода простых итераций) Пусть функции и , , непрерывны в области , причем выполнено неравенство:

(3.5)

где -некоторая постоянная.

Если последовательные приближения не выходят из области , то процесс последовательных приближений сходится: и вектор является в области единственным решением системы (3.1).

Замечание

Условие (3.5) выполняются, если для любого справедливы неравенства

(3.6)

Критерий остановки: ,

Итерационный процесс, реализуемый согласно (3.4) соответствует параллельному итерированию, т.к. для вычисления -го приближения всех неизвестных учитываются вычисленные ранее их -е приближения.

Система (1.1) может быть преобразована к виду (3.1) различными способами, например, это можно сделать, умножив (1.1) на некоторую неособенную матрицу и прибавив к обеим частям уравнения вектор неизвестных . Полученная система эквивалентна данной, и имеет вид задачи о неподвижной точке. Проблема теперь состоит лишь в подборе матричного параметра A такого, при котором вектор-функция обладала бы нужными свойствами.

Методика решения задачи

1. Задать начальное приближение и малое положительное число (точность). Положить k=0.

2. Вычислить по формуле или

   (3.5)

3. Если или , процесс закончить и положить . Иначе, положить и перейти к п.2.

4. ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ

1. Составить и отладить программы вычисления решения системы уравнений своего варианта методами Ньютона и методом простой итерации.

2. Предварительно выбрать начальное приближение, используя графическое представление уравнений.

3. Проверить выполнение условия сходимости итерационного процесса.

4. Найти решение СНУ (системы нелинейных уравнений), задавая различные значения вектора начального приближения к решению x⁽⁰⁾ и фиксируя количество итераций, необходимых для достижения решения с заданной точностью.

5. Построить графики x_i^(k), i=1,n решения в зависимости от номера итерации k.

6. Провести сравнительный анализ методов вычисления решения СНУ: методами Ньютона и методом простой итерации.

5. Варианты заданий.

Номер варианта	Система уравнений	Номер варианта	Система уравнений
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20