§ 6. Связь между линейными и угловыми величинами

Найдем скорость произвольной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . Положение точки относительно некоторой точки на оси вращения зададим радиусом–вектором (рис.5.1). Разделим обе части формулы (5.2) на промежуток времени :

(6.1)

или

, (6.2)

т.е. скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью , равна векторному произведению на радиус–вектор точки относительно произвольной точки на оси вращения.

Модуль вектора (6.2)

(6.3)

где – радиус окружности, по которой движется точка .

Продифференцировав (6,2) по времени, найдем ускорение точки :

(6.4)

или

(6.5)

В данном случае поскольку (ось вращения неподвижна), вектор направлен вдоль вектора скорости и представляет собой тангенциальное ускорение . Вектор перпендикулярен скорости и поэтому представляет собой нормальное ускорение . Модули этих ускорений соответственно равны:

(6.6)

(6.7)

а модуль полного ускорения

(6.8)

Пример 6.1. Диск радиусом см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением рад/с². Найти ускорение точки на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.

Решение. Ускорение частицы

(6.9)

где и – ее тангенциальное и нормальное ускорения.

Воспользуемся связью величин линейного и углового ускорения:

(6.10)

и соотношением

(6.11)

По определению

или в проекции на ось вращения

откуда

(6.12)

Проинтегрируем выражение (6.12):

или, учитывая, что в нашем случае и ,

(6.13)

Подставляя выражение (6.13) в соотношение (6.11), получаем

(6.14)

Подставляя и в соотношение (6.9), получаем

Ответ:

Пример 6.2. Вентилятор вращается с частотой об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки оборотов. Какое время прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

Решение. Угол поворота твердого тела вокруг оси вращения

(6.15)

где – модуль угловой скорости твердого тела.

Найдем зависимость угловой скорости от времени

По определению угловое ускорение твердого тела

Переходя к модулям векторов, имеем

(в случае замедленного движения ), откуда

(6.16)

Проинтегрируем выражение (6.16)

,

(мы учли, что при равнозамедленном движении ), откуда

(6.17)

Подставляя выражение (6.17) в соотношение (6.15) и интегрируя, получаем

(6.18)

Найдем из условия

(6.19)

Кроме того,

(6.20)

(6.21)

(6.22)

Подставляя формулы (6.20) – (6.22) в выражение (6.18), получаем

откуда

Следовательно,

Ответ:

Вопросы:

1) Какое движение называется вращательным?

2) Дайте определения векторов угловой скорости и углового ускорения. Как найти направления этих векторов?

3) Какие величины называются псевдовекторами?

4) Как связаны линейное и угловое ускорение?

5) Что такое период обращения?

Лекция 4. Динамика материальной точки