Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основные законы механики.

2. Две основные задачи динамики. Кратко изложите схему решения.

3. Сформулируйте принцип Даламбера для материальной точки и запишите его уравнение.

4. Что называют даламберовой силой инерции материальной точки? Куда фактически приложена эта сила?

5. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки.

6. Что такое переносная и кориолисова силы инерции? Как определяются их абсолютные величины и направления?

7. Принцип относительности классической механики. Сформулируйте условие относительного покоя материальной точки и сравните его с условием абсолютного покоя. Чем отличаются состояния равновесия материальной точки в инерциальной и неинерциальной системах отсчета?

8. Что называют механической системой? Связи. Классификация сил.

9. Чему равна масса механической системы? Как определяются координаты ее центра масс?

10. Дайте определения момента инерции твердого тела относительно центра, плоскости и оси.

11. Теорема о моменте инерции тела относительно параллельных осей. Относительно какой оси момент инерции тела минимален?

12. Запишите формулы, по которым вычисляются осевые моменты инерции простейших тел.

13. Теорема о движении центра масс системы. В каких случаях движение центра масс системы не изменяется? Приведите пример.

14. Теоремы об изменении количества движения точки и механической системы.

15. Закон сохранения количества движения системы. Приведите примеры.

16. Динамика точки переменной массы.

17. Теорема о моменте количества движения точки.

18. Теорема о кинетическом моменте системы.

19. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения.

20. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

21. Принцип Даламбера для механической системы.

22. Вычисление сил инерции в различных случаях движения твердого тела.

23. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и системы.

24. Кинетическая энергия твердого тела в различных случаях движения.

25. Работа силы тяжести и упругой силы.

26. Работа и мощность силы, приложенной к вращающемуся твердому телу.

27. Работа силы на прямолинейном участке пути и работа пары трения качения.

28. Мощность силы и коэффициент полезного действия.

29. Что такое потенциальная энергия материальной точки. Что она характеризует и как вычисляется?

30. Рассмотрите задачи о движении физического маятника. От чего зависит период его колебаний?

31. Что такое гироскопы, как они устроены и где применяются?

32. Какими свойствами обладает свободный гироскоп?

33. Возможные перемещения системы. Число степеней свободы. Принцип возможных перемещений.

34. Общее уравнение динамики.

35. Теория удара.

36. Обобщенные координаты.

37. Уравнение Лагранжа 2-го рода.

3.2. Сопротивление материалов

Тема 1. Центральное растяжение – сжатие

Основные понятия, допущения и гипотезы. В статике изучаются абсолютно твердые тела, которые под действием внешних сил не изменяют размеров и формы. В действительности таких тел нет, все реальные элементы конструкций и машин при действии на них внешних сил изменяют свою форму и размеры – деформируются и при некоторой величине сил могут разрушиться.

Способность деформироваться – одно из основных свойств всех твердых тел. Она является следствием их молекулярного строения. Как известно, твердые тела состоят из молекул, расположенных беспорядочно (аморфное строение) или в определенном порядке (кристаллическое строение). Молекулы не заполняют всего объема тела, а удерживаются на некотором расстоянии одна от другой под влиянием межмолекулярных сил взаимодействия. Приложение внешних сил нарушает нормальные расстояния между молекулами, и тело деформируется. При этом изменяется нормальное межмолекулярное взаимодействие и внутри тела возникают силы, которые противодействуют деформации и стремятся вернуть частицы тела в прежнее положение. Эти внутренние силы называют силами упругости, а свойство тел устранять деформацию после прекращения действия внешних сил называется упругостью.

Если тело не восстанавливает первоначальной формы и размеров, деформации называют остаточными, или пластичными. Наличие остаточных деформаций в деталях машин в подавляющем большинстве недопустимо. Внутренние силы могут увеличиваться лишь до определенного предела, характеризуемого прочностью материала. Если внутренние силы не в состоянии уравновесить внешние нагрузки, тело разрушается.

Для расчета реальной конструкции, установления математических соотношений между действующими силами, геометрическими размерами деталей конструкции, деформациями и силами упругости необходимо отбросить несущественные, с точки зрения расчета, факторы, т.е. идеализировать конструкцию – создать расчетную схему, сохраняющую основные свойства реальной конструкции, но лишенную ее второстепенных свойств.

Основные допущения и принципы, принятые при расчете конструкций:

1. Все тела предполагаются абсолютно упругими.

2. Все тела по своему строению предполагаются сплошными, не имеющими во внутренней структуре трещин или полостей.

3. Материал рассматривается как однородная, изотропная, сплошная среда, обладающая свойством упругости.

Изотропный материал обладает одинаковыми физико-механическими свойствами во всех направлениях (не изотропный материал – дерево, оно по-разному сопротивляется нагружению вдоль и поперек волокон).

4. Перемещения точек тела под действием нагрузок очень малы по сравнению с размерами тела, поэтому уравнения равновесия составляются как для недеформируемого тела.

5. Перемещения точек упругого тела прямо пропорциональны действующим нагрузкам.

6. Внешние силы действуют независимо друг от друга. Результат действия на тело нескольких сил равен сумме результатов действия каждой силы, при этом порядок приложения сил безразличен. Это положение известно под названием принципа независимости действия сил.

Классификация сил. Внешние силы – это активно приложенные нагрузки – силы и моменты. Например, усилие пилота на рычаге, вращающий момент, действующий на вал со стороны привода, сила тяги ВС – типичные приложенные нагрузки. Приложенная нагрузка может создаваться в результате активного воздействия на тело окружающей среды (температурная нагрузка на лопатки турбины со стороны потока раскаленных газов, аэродинамическая нагрузка на крыло от встречного воздушного потока и др.). К внешним нагрузкам относят также реакции. Эти нагрузки прикладываются к нагруженным элементам со стороны сопрягающихся с ними опор, например, сила противодействия пилоту со стороны рычага, нагрузка на вал со стороны подшипников, силы и моменты со стороны фюзеляжа на крыло или стойку шасси и т.д.

Внешние нагрузки, прикладываемые к авиаконструкциям в процессе эксплуатации техники, могут достигать сотен тонн, действовать кратковременно или длительно.

По характеру действия силовые факторы подразделяются на статические и динамические нагрузки.

Статические нагрузки – силы и моменты, постоянные или медленно изменяющиеся по величине (детали и узлы ВС на стоянке или при установившемся горизонтальном полете. Пилот медленно и плавно нажимая на рычаг управления, прикладывает к нему статическую нагрузку).

Динамические нагрузки – силы и моменты, которые прикладываются внезапно, сразу полной своей величиной (ударные), быстро нарастающие либо убывающие (инерционные), изменяющиеся по направлению (циклические). Например, на шасси самолета в момент приземления действует со стороны грунта динамическая нагрузка ударного характера; изменение скорости полета сопровождается возникновением инерционных нагрузок на детали и узлы самолета и двигателя; под циклической нагрузкой можно рассматривать комплекс усилий, вызывающий вибрацию крыла.

По способу приложения силовые факторы подразделяются на сосредоточенные и распределенные.

Сосредоточенными силами называются силы, передающиеся на элемент конструкции через площадку, размеры которой очень малы по сравнению с размерами всего элемента. Например, силы, действующие на узлы крепления двигателя к самолету, на узлы крепления элеронов, рулей и т.д.

Распределенными силами называют силы, приложенные к элементам конструкции на протяжении некоторой длины или площади, и которые могут быть равномерно распределенными или неравномерно распределенными. Так аэродинамическая нагрузка по поверхности крыла представляет собой нагрузку, неравномерно распределенную по площади.

Вес горизонтально расположенной балки представляет собой нагрузку, равномерно распределенную по длине (погонную нагрузку).

Для полки лонжерона крыла, сечение которой уменьшается от корневой части к консоли, нагрузка от собственного веса является неравномерно распределенной по длине.

Метод сечений. Виды деформаций. Напряжения. Будем рассматривать внутренние силы и деформации, возникающие в элементах конструкций, схематизированных в форме бруса (вал двигателя, тяга управления, лонжерон), длина которых значительно превышает их поперечные размеры. Брус может быть прямым (валы, оси, тяги, балки) или кривым (крюк, пружина, звено цепи), иметь постоянное или переменное сечение. Например, подкос шасси самолета считают брусом постоянного сечения, лопатку компрессора ГТД, лопасть воздушного винта – брусом переменного сечения. Кроме стержней (брусьев), могут встречаться пластинки или оболочки, у которых только один размер (толщина) мал по сравнению с двумя другими, и массивные тела, у которых все три размера примерно одинаковы.

Выше отмечалось, что внешние силы, действующие на тело, вызывают в нем внутренние силы упругости. Эти внутренние силы стремятся уничтожить полученную телом деформацию. Обнаружить возникающие в нагруженном теле внутренние силы можно, применив метод сечений. Суть метода заключается в том, что внешние силы, приложенные к отсеченной части тела, уравновешиваются внутренними силами, возникающими в плоскости сечения – заменяющими действие отброшенной части тела на оставленную.

Рассечем находящийся в равновесии стержень на две части (рис. 3.2.1, а). В сечении возникают внутренние силы упругости (рис. 3.2.1, б), уравновешивающие внешние силы, приложенные к отсеченной части. Это позволяет применить к любой отсеченной части тела условия равновесия, дающие в общем случае пространственной системы сил шесть уравнений. В соответствии с правилами статики, приведем внутренние силы к главному вектору и главному моменту. Разложим главный вектор и главный момент внутренних сил на составляющие по осям координат (рис. 3.2.2): – продольная сила; и – поперечные силы (срезающие или сдвигающие); – крутящий момент; M_x и M_y – изгибающие моменты.

Рис. 3.2.1

В частных случаях отдельные силовые факторы могут быть равны нулю. Координатные оси будем направлять следующим образом: ось Z – вдоль оси стержня, а оси X и Y – вдоль главных центральных осей его поперечного сечения.

В нутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении стержня, полностью определяют характер его деформации. Деформации отдельных элементов могут быть сложными, но любую деформацию всегда можно представить как сочетание нескольких простейших деформаций.

Известны следующие простейшие виды деформаций стержней:

• осевое растяжение и сжатие – такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении стержня возникает только продольная сила (работа тросов, канатов, цепей, тяг управления ВС, стоек шасси, подкосов рамы двигателя, шатунов поршневых двигателей);

• сдвиг или срез – такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила (работа болтов подвижных соединений, цапф, пальцев сочленения, сварных швов, шпонок и др.);

• кручение – такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент (работа валов, крыла и фюзеляжа ВС, рулей и элеронов, работа стойки шасси);

• изгиб чистый – такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент.

Если в сечении стержня возникает еще и поперечная сила, то изгиб называют поперечным (работа всякого рода балок, лонжеронов крыла, качалок управления ВС, ручки управления ВС, стойки шасси).

Напряжения. Принято считать, что внутренние силы действуют непрерывно по всему сечению. Мерой их интенсивности является напряжение – величина внутренних сил, приходящихся на единицу площади сечения (рис. 3.2.3). Напряжение представляет собой отношение внутренней силы к некоторой площади и измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади (1 H/м² = 1 Па). В практических расчетах удобно измерять напряжения в мегапаскалях (1 МПа = 1 Н/мм² = 10⁶ Па = 10⁶ Н/м²).

Рис. 3.2.3

Через одну и ту же точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, разделяющих тело на две части. В общем случае напряжения по различным сечениям будут различны.

Напряжения в некоторой точке какого-либо сечения тела характеризуются числовым значением и направлением, т.е. напряжение представляет собой вектор, наклоненный под тем или иным углом к рассматриваемому сечению. Направление и числовая величина напряжения зависят от характера и величины внешних сил, приложенных к телу, от положения сечения в теле и положения точки в сечении.

Пусть в некоторой точке k сечения тела по некоторой малой площадке А действует сила под некоторым углом к площадке (см. рис. 3.2.3).

Поделив эту силу на площадь ΔА, найдем возникающее в точке k напряжение:

при А 0. (3.2.1)

Разложим напряжение на составляющие: (сигма) – нормальное напряжение (по нормали к площадке ΔА) и (тау) – касательное напряжение.

Полное напряжение и его составляющие являются векторами. Рассматривая нормальное или касательное напряжения по какому-либо сечению, мы тем самым точно фиксируем их направление. Поэтому эти напряжения не принято обозначать, как векторы. Нормальное напряжение возникает при сближении или отрыве частиц тела, а касательное – при скольжении или сдвиге частиц.

При решении задач сопротивления материалов удобнее оперировать не с полным напряжением, а с его составляющими, среднюю величину которых при равномерном распределении нагрузки можно вычислить по формулам:

σ = ;  = . (3.2.2)

Полное напряжение определяется по формуле

. (3.2.3)

Напряжение, при котором происходит разрушение материала или возникают заметные пластические деформации, называют предельным, и обозначаются σ_пр, τ_пр. Эти напряжения определяют опытным путем.

Во избежание разрушения элементов сооружений или машин, возникающие в них рабочие (расчетные) напряжения (σ, τ) не должны превышать так называемые допускаемые напряжения – наибольшие напряжения, при которых обеспечивается надежная работа детали.

Допускаемые напряжения обозначаются буквами в квадратных скобках: [σ], [τ] и вычисляются по формулам:

[σ ] = σ_пр/[n], [τ ] = τ_пр/[n], (3.2.4)

где [n] = 1,2, … 5 – коэффициент запаса прочности.

Выбор допускаемых напряжений и запаса прочности детали производится с учетом характера действия нагрузок, механических свойств материала, назначения проектируемой конструкции, вида деформации детали, наличия или отсутствия концентрации напряжений, точности расчета и других факторов. Назначение недостаточного запаса может привести к разрушению детали, излишне большой запас приводит к перерасходу материала и утяжелению конструкции.

Опасным напряжением для пластичного материала будет предел текучести σ_т, по которому и берется допускаемое напряжение, опасным же напряжением для хрупкого материала будет предел прочности σ_в, тогда

[σ] = σ_т/[n] и [σ ] = σ_в/[n]. (3.2.4)

Нагрузка, по которой следует производить расчет на прочность, должна быть больше эксплуатационной, чтобы обеспечить безопасность работы конструкции для этого вводится коэффициент безопасности (f) – число, показывающее во сколько раз разрушающая нагрузка F_р будет больше эксплуатационной. Коэффициент безопасности определятся по формуле

.

Растяжение и сжатие. Эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Растяжением или сжатием называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только продольная сила (N), действующая перпендикулярно плоскости поперечного сечения.

Многие детали и узлы авиатехники в процессе эксплуатации испытывают деформацию растяжения или сжатия. Болты и шпильки при затяжке растягиваются. Тяги управления ВС и двигателем, в зависимости от характера и режима полета, растягиваются или сжимаются. Растяжение и сжатие воспринимают полки лонжеронов, шатуны кривошипных механизмов, рама крепления двигателя к самолету, стойки шасси и т.д.

Рассмотрим невесомый, защемленный левым концом прямой брус, вдоль оси которого действуют силы 2F и 3F (рис. 3.2.4).

1. Разбиваем брус на участки, границами которого являются точки приложения сосредоточенных сил или изменение поперечного сечения.

2 . Методом сечений на каждом участке определяем продольные силы N₁ и N₂, начиная со свободного конца. Во всех точках поперечного сечения бруса будут действовать внутренние распределенные силы, равнодействующая которых определится из условия равновесия одной из частей бруса.

ΣZ = – N₁ + 3F = 0; N₁ = 3F.

Аналогично находим продольную силу N₂:

ΣZ = – N₂ – 2F + 3F = 0; N₂ = F.

В пределах одного участка продольная сила будет иметь постоянное значение. Растягивающие продольные силы будем считать положительными, а сжимающие – отрицательными.

3. Нормальные напряжения равномерно распределенные по сечению определяются по формуле

σ = . (3.2.5)

Для наглядного изображения распределения вдоль оси бруса продольных сил и нормальных напряжений строят графики, называемые эпюрами, причем для нормальных напряжений применяется тоже правило знаков, что и для продольных сил (см. рис. 3.2.4).

Условие прочности при растяжении – сжатии:

_max = < [σ ]. (3.2.6)

Три задачи, решаемые из условия прочности:

1. Определение безопасной нагрузки, если известны размеры и материал:

F =N < A [σ].

2. Проектный расчет – определение размеров поперечного сечения, если известна нагрузка и материал:

A > .

3. Проверка прочности:

σ_max < [σ].

Деформации при растяжении, сжатии. Закон Гука. Английский ученый Роберт Гук (1635–1703) установил зависимость между напряжением и деформацией, которое формулируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.

Математически закон можно записать в виде равенства

σ = E ε. (3.2.7)

Коэффициент пропорциональности E характеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода (табл.).

Значения модуля упругости для некоторых материалов

Материал	Коэффициент пропорциональности, МПа
Чугун	(1,5...1,6)105
Сталь	(1,96...2,1)105
Сплавы алюминия	(0,69...0,71)105
Титановые сплавы	1,1105

Модуль упругости и напряжения определяется по формуле

E = σ / ε.

Если в формулу закона Гука подставить выражения относительной продольной деформации ( ) и нормального напряжения ( ), то абсолютная продольная деформация

. (3.2.8)

Произведение EA, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии. Эта формула читается так: абсолютное удлинение или укорочение прямо пропорционально продольной силе, длине и обратно пропорционально жесткости сечения бруса (рис. 3.2.5):

l = l₁ – l.

Приведенные выше формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из однородного материала и при постоянной продольной силе.

Рис. 3.2.5

Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, величиной продольной силы, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме удлинений и укорочений отдельных участков:

Δl = Σ (Δl_i).

При растяжении и сжатии возникает и поперечная деформация стержня. Поперечный размер бруса первоначально равный b, уменьшился до b₁. Абсолютное сужение

Δb = b – b₁.

Отношение абсолютной поперечной деформации к первоначальному поперечному размеру называется относительной поперечной деформацией:

ε' = Δb/b.

Опытами французского ученого С.Д. Пуассона (1781–1840) установлено, что отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации есть величина постоянная для данного материала и называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

μ = .

Коэффициент Пуассона, как и модуль упругости первого рода, зависит только от материала и характеризует его упругие свойства. Коэффициент Пуассона – величина безразмерная. Значения для некоторых материалов: сталь – 0,24...0,30; алюминиевые сплавы – 0,3…0,35.

Механические испытания материалов. Для определения физико-механических свойств материалов наиболее широко применяют статические испытания материалов на растяжение. Объясняется это тем, что механические характеристики, получаемые при испытании на растяжение, позволяют сравнительно точно определить поведение материала при других видах деформаций, и этот вид испытаний, кроме того, наиболее легко осуществим.

По механическим свойствам материалы могут быть разделены на две основные группы: пластичные и хрупкие. У первых разрушению предшествует возникновение значительных остаточных деформаций; вторые разрушаются при весьма малых остаточных деформациях. Пластичными материалами в обычных условиях являются малоуглеродистая сталь, медь; хрупкими – некоторые специальные сорта стали, чугун.

Чтобы иметь наглядное представление о поведении материала при растяжении, строят кривую зависимости между величиной удлинения испытываемого образца и величиной вызвавших его сил, так называемую диаграмму растяжения. Типичная диаграмма растяжения образца из малоуглеродистой стали представлена на рис. 3.2.6, которую можно условно разделить на четыре участка.

Рис. 3.2.6

Имеется график зависимости между действующей на образец растягивающей силой F и удлинением Δl (рис. 3.2.6, а). Разделив абсциссы Δ l на первоначальную длину l, а ординаты F на первоначальную площадь поперечного сечения А, получим график зависимости напряжения σ = F/A от продольной деформации ε = Δl /l (рис. 3.2.6, б).

До значения напряжения, соответствующего точке А диаграммы, имеет место линейная зависимость между величинами относительного удлинения и напряжения, т.е. соблюдается закон Гука. Напряжения, соответствующие точке А диаграммы, называются пределом пропорциональности материала (σ_пц). При переходе за точку А справедливость закона Гука нарушается: удлинение растет интенсивнее, чем сила; прямая ОА переходит в кривую АВ, обращенную выпуклостью кверху.

До точки В диаграммы увеличение растягивающей силы практически не вызывает остаточных деформаций образца, материал деформируется упруго и напряжение, соответствующее точке В, называется пределом упругости (σ_у).

Предел пропорциональности и предел упругости для многих материалов, например для стали, оказываются настолько близки, что зачастую их считают совпадающими и отождествляют, несмотря на физическое различие этих пределов.

Угол наклона начального участка ОА диаграммы растяжения пропорционален модулю продольной упругости материала:

tg α = σ/ε = E.

Следовательно, чем круче этот участок, тем больше модуль упругости материала, тем он жестче.

Кривая АВ от точки В переходит в горизонтальную или почти горизонтальную прямую ВС, что указывает на значительное возрастание удлинения при постоянном или очень незначительном возрастании силы; материал, как говорят, течет. Напряжение, при котором наблюдается текучесть материала, называется пределом текучести (σ_т).

При достижении предела текучести поверхность образца становится матовой, так как на ней появляется сетка линий Людерса-Чернова, наклоненных к оси под углом 45, их появление свидетельствует о сдвиге кристаллов образца.

Предел текучести является основной механической характеристикой при оценке прочности пластичных материалов.

Точка D соответствует пределу прочности или временному сопротивлению (σ_вр). Пределом прочности называют отношение максимальной силы, которую может выдержать образец, к первоначальной площади его поперечного сечения.

Временное сопротивление – условное напряжение: при этом напряжении на образце образуется резкое местное сужение, так называемая шейка, намечается место последующего разрыва. Образец сильно удлиняется за счет пластической деформации шейки. Площадь сечения шейки уменьшается и для доведения образца до разрушения требуется сила меньше F_вр, это отмечает участок диаграммы, отклоняющийся вниз к оси абсцисс. Точка К соответствует разрушению образца.

Действительные напряжения в сечении шейки не уменьшаются, а все время растут; площадь сечения шейки уменьшается более интенсивно, чем растягивающая сила.

Точка Е соответствует напряжению, возникающему в наименьшем поперечном сечении шейки в момент разрыва.

П онятие о жаропрочности и ползучести. Детали многих современных машин, в частности, некоторые детали летательных аппаратов, работают при высоких температурах. Нагрев изменяет механические характеристики материалов, снижая прочностные показатели. На рис. 3.2.7 показаны механические характеристики при разных температурах легированной стали 35ХГСА и специального жаропрочного сплава, применяемого для изготовления многих деталей турбин ГТД. Пределы прочности и текучести жаропрочного сплава почти не меняются до 700 °С и остаются высокими при нагреве до 800 °С, в то время как у легированной стали резкое снижение этих прочностных характеристик начинается уже при температуре 300–400 °С.

Ползучестью называется свойство материала пластически деформироваться с течением времени под действием постоянной нагрузки. Ползучесть, мало заметная при нормальной температуре, усиливается при нагреве. В зависимости от материала, температуры и напряжения пластическая деформация или остается в допустимых пределах, или продолжается до разрушения.

Материалы, из которых изготавливают детали, работающие при нагреве, подвергают длительным испытаниям на ползучесть для установления опасных напряжений, вызывающих при данной температуре недопустимую скорость деформации. Например, для лопаток турбин некоторых ГТД допустимо напряжение, при котором скорость деформации при t = 800 °С не превышает 0,2 % за 5000 ч.

Ползучесть является причиной релаксации, которая заключается в уменьшении напряжений с течением времени в деталях, подвергаемых нагреву. Например, сила упругости пружины, деформированной на определенную величину, и сила затяжки болта при нагреве со временем уменьшаются.