2.2.3. Дифракционное распределение в фокусе оптической системы с произвольным числом Френеля при наличии аберраций

Рассмотрим центрированную оптическую систему (рис. 2.45) с точечным монохроматическим источником света P. Выберем декартову систему координат, начало которой находится в месте параксиального изображения P' точки P, а ось Z направлена вдоль CP', где C – центр выходного зрачка. Ось Y лежит в меридиональной плоскости (т.е. плоскости, в которой лежит точка P и оптическая ось системы). Обозначим через Y и Y* расстояния от точек P и P' до оптической оси. Деформацию волнового фронта в области выходного зрачка системы опишем функцией аберраций Ф. Пусть P" и N – точки пересечения луча в пространстве изображений с волновым фронтом и опорной сферой Гаусса, соответственно. Если показатель преломления среды в пространстве изображений равен 1, то в каждой точке волнового фронта значение Ф равно расстоянию P"N. Пусть R – радиус опорной сферы Гаусса, R=CP', а r – расстояние между P" и произвольной точкой Q, лежащей в окрестности P'.

Р ис. 2.45 Центрированная оптическая система при наличии аберраций

В этом случае дифракционный интеграл отличается от (2.4) видом функции U(P"):

(2.63)

Принято рассматривать Ф как функцию координат Y^*,, :

(2.64)

С учетом (2.63) дифракционный интеграл можно преобразовать к виду:

(2.65)

Введя оптические переменные вида (2.10), интенсивность в произвольной точке Q выразим следующим образом:

(2.66)

Для вычисления этого интеграла необходимо определить функцию Ф.

Поскольку в данной задаче интегрирование ведется по единичному кругу, Ф удобно разлагать не в степенной ряд, как обычно, а по полной системе полиномов, ортогональных внутри единичного круга. Одной из таких систем является система круговых полиномов Цернике: , где X и Y действительные переменные [8].

Если выразить X и Y в полярных координатах: то полиномы будут иметь вид:

(2.67)

где и - целые числа, и, кроме того, а  – четное число.

Ортогональность и нормировка полиномов Цернике определяется выражением:

(2.68)

Радиальные функции являются полиномами по , содержащими степени .

Из (2.68) следует, что

(2.69)

Определяются следующим образом:

(2.70)

При таком определении для любых n и m.

Вместо комплексных полиномов Цернике можно использовать вещественные полиномы Лежандра:

(2.71)

Так как волновые искажения симметричны относительно меридиональной плоскости, то функция аберраций Ф является четной по , и можно использовать только полиномы . Кроме того, из симметрии задачи вытекает, что разложение функции аберраций содержит лишь комбинации переменных: .

Таким образом, разложение имеет вид:

(2.72)

где l,m,n - неотрицательные целые числа, - четно,

- вещественная константа.

Рассмотрим дифракционное изображение при наличии первичных аберраций (аберраций Зайделя или волновых аберраций четвертого порядка)

Первичные аберрации описываются одним членом разложения (2.72), а именно:

(2.73)

Далее, поскольку мы рассматриваем изображение фиксированной точки предмета, то Y^*=const и удобно не выделять явную зависимость Ф от Y^*, для чего положим:

(2.74)

С учетом условий (2.73) возможно существование только пяти первичных аберраций:

1. Сферическая: l=0; n=4; m=0.

(2.75)

2. Кома: l=0; n=3; m=1.

(2.76)

3. Астигматизм: l=0; n=2; m=2.

(2.77)

4. Кривизна поля: l=1; n=2; m=0.

(2.78)

5. Дисторсия: l=1; n=1; m=1.

(2.79)

Дифракционный интеграл (2.65) при наличии первичных аберраций примет вид:

(2.80)

где (2.81)

Далее, обозначим:

(2.82)

и применив тождество Якоби:

(2.83)

к выражениям , получим:

(2.84)

(в этом и последующих выражениях члены сумм с индексами s=0 и s'=0 надо брать с множителем 1/2.). Подставим (2.84) в (2.80) и проинтегрируем по :

(2.85)

Если величины порядка единицы (малые аберрации), то можно разложить член в степенной ряд и оставить лишь четыре члена разложения, что обеспечит точность порядка нескольких процентов. Таким образом (2.85) примет вид:

(2.86)

Здесь приняты обозначения:

(2.87)

(2.88)

(2.89)

(2.90)

(2.91)

И, окончательно (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1):

(2.92)

Интенсивность в точке Q:

В случае первичных аберраций индекс m может принимать значения m=0, m=1, m=2, и для упрощения численных расчетов выпишем выражения для I(Q) в этих случаях отдельно:

I) Сферическая аберрация и кривизна поля: m=0.

(2.93)

2. Кома и дисторсия: m=1.

(2.94)

2. Астигматизм: m=2.

(2.95)

Данные соотношения позволяют вычислить распределение интенсивности вблизи фокуса оптической системы при наличии малых первичных аберраций и неоднородном амплитудном распределении по сечению пучка. Результаты подобных вычислений для меридиональной плоскости оптической системы и нескольких плоскостей параллельных плоскости Гаусса представлены в виде изофот на рисунках 2.46-2.54.

а

б

Рис. 2.46 Изофоты в меридиональной плоскости (сферическая аберрация, однородное распределение амплитуды по зрачку), а - N = 7, б – N = 1000.

а

б

Рис. 2.47 Изофоты в меридиональной плоскости (астигматизм, однородное распределение амплитуды по зрачку), а - N = 7, б – N = 1000.

а

б

Рис. 2.48 Изофоты в меридиональной плоскости (кома, однородное распределение амплитуды по зрачку), а - N = 7, б – N = 1000.

а

б

Рис. 2.49 Изофоты в меридиональной плоскости (однородное распределение по зрачку, N = 1000), а – дисторсия, б – кривизна поля.

Из этих картин видно, что малые аберрации не приводят к значительному снижению интенсивности в фокусе, однако существенно деформируют распределение поля, нарушая его симметрию как относительно плоскости XOY (сферическая аберрация, астигматизм), так и относительно плоскости XOZ (кома). Дисторсия и кривизна поля приводят лишь к смещению картины как целого по оси Z (кривизна поля) и Y (дисторсия).

а

б

Рис. 2.50 Изофоты в плоскостях, перпендикулярных оптической оси (сферическая аберрация, =0.6, гауссовский закон изменения амплитуды по зрачку, s =3.22, N = 6.33), а – в геометрической фокальной плоскости (u=0), б - в плоскости дифракционного фокуса (u= -1.66)

а

б

Рис.2.51 Изофоты в плоскостях, перпендикулярных оптической оси (кома, =0.5, гауссовский закон изменения амплитуды по зрачку, s =3.22, N = 6.33), а – в геометрической фокальной плоскости (u=0), б - в плоскости дифракционного фокуса (u=-1.66).

а

б

Рис. 2.52 Изофоты в плоскостях, перпендикулярных оптической оси (астигматизм, =0.3, гауссовский закон изменения амплитуды по зрачку, s =3.22, N = 6.33), а – в плоскости Гаусса (u=0), б - в плоскости дифракционного фокуса (u= -1.66).

а

б

Рис. 2.53 Изофоты в плоскостях, перпендикулярных оптической оси (кривизна поля, =0.4, гауссовский закон изменения амплитуды по зрачку, s =3.22, N = 6.33), а – в плоскости Гаусса (u=0), б - в плоскости дифракционного фокуса (u= -1.66).

а

б

Рис. 2.54. Изофоты в плоскостях, перпендикулярных оптической оси (дисторсия, =0.4, гауссовский закон изменения амплитуды по зрачку, s =3.22, N = 6.33), а – в плоскости Гаусса (u=0), б - в плоскости дифракционного фокуса (u= -1.66).