Э

Рис. 1.11.

К примеру 1

то означало, что электростатическое поле является потенциальным полем, и его силовые линии являются незамкнутыми линиями.

.

Теперь это означает, что магнитное поле не является потенциальным полем и оно вихревое, т.е. его силовые линии являются замкнутыми линиями.

Теорема о циркуляции для магнитного поля дает возможность вычислять индукцию магнитного поля, создаваемого системой проводников с током.

1.7. Магнитное поле тороида и соленоида

Тороид – это катушка, которая имеет замкнутый сердечник в форме кольца или тора (рис. 1.12). Пусть на сердечник намотано N витков провода, по которому течет ток I.

Рис. 1.12 . Магнитное поле Рис. 1.13. Магнитное поле

тороида соленоида

Каждый виток создаёт магнитное поле, и результирующее магнитное поле сконцентрировано внутри сердечника. Вектор магнитной индукции направлен по касательной к осевой линии тора и по величине является постоянным во всех точках осевой линии B=const. Вычислим циркуляцию вектора по осевой линии тора:

, (1.15)

где l – длинна осевой линии тора.

С другой стороны по теореме о циркуляции для магнитного поля:

. (1.16)

Сравнивая (1.15) и (1.16) получим:

,

откуда следует, что

,

где – число витков, приходящихся на единицу длинны осевой линии тора.

Таким образом:

 индукция магнитного поля тороида. (1.17)

Соленоид – это катушка с плотно намотанными друг к другу витками на цилиндрический сердечник (рис. 1.13).

Если длина сердечника намного больше диаметра, то соленоид можно считать бесконечным, и к нему применима формула (1.5):

 индукция магнитного поля соленоида. (1.18)

1.8. Движение заряженных частиц в постоянном магнитном поле

На заряжённую частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца:

. (1.19)

Величина этой силы зависит от угла  между векторами и

.

Поэтому в зависимости от угла, под которым заряженная частица влетает в магнитное поле, она может двигаться по одной из трех траекторий:

1. если , то и частица будет двигаться прямолинейно и равномерно;

2. если , то частица будет двигаться по окружности;

3. если , частица будет двигаться по винтовой линии.

Так как сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заряженной частицы, то магнитное поле не совершает работу, и поэтому модуль скорости частицы остаётся постоянным, т.е. .

Остановимся подробно на случаях 2 и 3.

С лучай 2: Заряжённая частица влетает перпендикулярно линиям магнитной индукции магнитного поля, т.е. . В этом случае движение происходит в плоскости перпендикулярно линиям магнитной индукции, и так как , сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение, и частица движется по окружности с постоянной скоростью . При этом разноименно заряжённые частицы будут двигаться в противоположных направлениях.

Путь две противоположно заряженных частицы, имеющие одинаковый, по величине заряд q, влетают с одинаковой скоростью в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям поля. На них действуют противоположно направленные силы Лоренца и частицы будут по окружностям как показано на рис. 1.14.

Ч

Рис. 1.14. Движение заряженных частиц в магнитном поле по окружности

тобы получить выражение для радиуса окружности R и периода обращения T частицы, запишем второй закон Ньютона:

.

Подставляя сюда и , получим

.

Откуда следует выражение для радиуса окружности:

. (1.20)

Выражение для периода обращения частицы получим, разделив длину окружности на скорость движения частицы:

. (1.21)

Р

Рис. 1.15. Ускорение заряженных частиц в циклотроне

езультат является примечательным тем, что период обращения частицы не зависит от ее скорости. Этот результат нашёл применение в первом кольцевом ускорителе заряженных частиц – циклотроне (1932 г.) (рис. 1.15). Заметим, что Т не зависит от только до тех пор, пока скорость частицы намного меньше скорости света c в вакууме. При скоростях, сравнимых со скоростью света c, в нашем рассмотрении необходимо пользоваться релятивистской механикой, и период обращения частицы T будет теперь зависеть от скорости частицы.

Случай 3: Заряженная частица влетает в магнитное поле под некоторым углом ( ) к силовым линиям магнитного поля.

Р азложим скорость частицы на две составляющих:

,

где – составляющая скорости перпендикулярная линиям магнитной индукции ,

Рис. 1.16 Движение заряженных частиц в магнитном поле по винтовой линии

– составляющая скорости параллельная линиям магнитной индукции (рис. 1.16). В этом случае заряженная частица участвует одновременно в двух движениях: прямолинейном движении со скоростью и движении по окружности со скоростью . Результатом сложения этих движения является винтовая линия с радиусом винта

, (1.22)

и шагом винта:

. (1.23)

Этот тип движения заряженных частиц в магнитном поле используется в электронных микроскопах.