Моделлинг.

Введем некоторые обозначения, необходимые для составления модели. Пусть

- количество кассиров в -ый час, - количество доставщиков в -ый час, - количество кладовщиков в -ый час, - их з/п в час соответственно;

- случайная величина, обозначающая количество покупателей в -ый час,

- номер покупателя,

- случайная величина, обозначающая количество товаров, купленных -ым клиентом, а - суммарное количество товаров, купленных в -ый час;

- среднее время обработки единицы товара кассиром, тогда - время обслуживания кассиром -го покупателя, а - суммарное время обслуживания всех покупателей в -ый час одним кассиром;

- среднее количество товаров, доставляемых в час со склада в торговый зал одним доставщиком, - среднее количество доставляемых со склада товаров в -ый час;

- среднее время обслуживания одним кладовщиком одного доставщика, - время обслуживания одним кладовщиком всех доставщиков в -ый час.

Также введем в рассмотрение случайную величину, отражающую, сколько на самом деле товаров хотели бы приобрести покупатели в -ый час: . Тогда - - число товаров, которые не смогли приобрести покупатели по тем или иным причинам(или не успели доставить со склада, т.е. не было на полках, или у товаров истек срок годности, или товары были бракованы и т.д. ), но имели такое желание.

Для упрощения модели будем рассматривать только среднюю стоимость единицы товара. Ее можно вычислить, например, как математическое ожидание дискретной случайной величины, где вероятность приобретения того или иного товара берется на основании статистических данных.

Целевую функцию построим следующим образом:

Прибыль от продажи товара – затраты на персонал – недополученная прибыль.

Распишем каждое слагаемое в отдельности.

Прибыль от продажи товара за день вычисляется путем суммирования прибыли за каждый час (прибыль в час есть произведение количества всех купленных товаров на среднюю стоимость единицы товара).

Затраты на персонал делятся на две составляющие:

1. почасовая з/п «основных» работников,

2. почасовая з/п работников «на замене», т.е. тех, кто работает во время обеда «основных».

Рабочий процесс установим таким образом, чтобы сотрудники уходили на обед по очереди. Время работы супермаркета пусть будет с 8 до 22 часов. Тогда целесообразно установить обеденное время с 12 до 18 часов. Таким образом, на замене с 12 до18 часов должен быть лишь 1 человек каждого из рассматриваемых профессий на 6 человек персонала. Пусть - количество кассиров, доставщиков и кладовщиков за день, работающих не «на замене», соответственно. Тогда в случае кассиров: - необходимое число работников «на замене». В случае кладовщиков и доставщиков получаем абсолютно аналогичные результаты.

Недополученная прибыль определяется количеством товаров, которое не смогли приобрести покупатели, имея такое желание. Т.е. она появляется, когда спрос не удовлетворен. В модели спрос – это случайная величина, а значит, требуется сначала обработать статистику и построить примерный закон ее распределения. Но даже в случае точного закона нам не удастся всегда его удовлетворять в силу различных факторов.

Итак, основываясь на вышесказанном, мы приходим к следующему виду целевой функции:

или

Как видно, целевая функция зависит от случайных величин. Поэтому возьмем математическое ожидание (т.е. ожидаемую прибыль) в качестве максимизируемой функции.

Величины в соответствии с постановкой задачи удовлетворяют условиям

Будем считать, что величины - независимые, - независимые, а также они независимы в совокупности. Тогда . Пусть также Получаем:

Запишем теперь ограничения.

1) - время обслуживания всех покупателей всеми работающими кассирами в -ый час. Тогда получаем двойное неравенство:

Условие с максимальным временем дает нам ограниченность очереди, а условие с минимальным временем – ограничение снизу на производительность.

2) Условие на наличие товара на полках в торговом зале запишем в виде:

3) Условие на работу кладовщиков:

Здесь аналогично условию 1) левое неравенство дает ограничение на производительность труда, а правое – на длину очереди (или время обслуживания).

Преобразуем полученные ограничения.

1) тогда приходим к ограничениям

2)

3)

Потребуем выполнение этих ограничений с вероятностью , близкой к 1. Численное значение выберем из следующих соображений. Пусть - примерные доходы гипермаркета за день, - доходы гипермаркета с экстремальными расходами (вызов дополнительных сотрудников или плата за внеурочную работу). Тогда уравнение баланса будет иметь вид:

откуда получаем выражение для :

Приходим к виду:

Последние два неравенства из вероятностных ограничений зависят от количества доставщиков , ограничение на которое описывается выше. Такая ситуация не типична для вероятностных ограничений, поэтому уберем явную зависимость одной переменной от другой. Для этого воспользуемся доверительным подходом. Построим для и доверительные множества .

или, учитывая принятые допущения,

Параметры и выбирается так, чтобы мера исходного многомерного множества была равной . Если воспользоваться правилом «трех сигм», то мера 14-мерного множества будет равной 0,9629. Будем считать =0,9629 приемлемым результатом, так как «экстренные» случаи при таком выборе будут происходить крайне редко. Таким образом, полагаем =3.

Тогда вероятностные ограничения запишутся в виде:

Пример.

Рассмотрим модель со следующими параметрами:

руб/час, руб/час, руб/час;

=20 сек=1/3мин, u=45 сек=3/4мин;

=100 ед., =3 мин.

=15 ед., = =0,01.

Пусть средняя проходимость магазина в час равна 1500 человек, тогда имеем:

Часы работы
8-9
9-10
10-11
11-12
12-13
13-14
14-15
15-16
16-17
17-18
18-19
19-20
20-21
21-22

55 мин, 20 мин;

, ;

55 мин, 20 мин;