Предел ф-и.
О.
Число А наз пределом ф-и
,
при
(или
в точке
).
Если для любого числа
0,
сущ-ет такое число ,
что при всех
,
удовлетворяющих условию 0
вып-тся нер-во
.
Для
0
(1)
.
Обозначается
Геометрический
смысл определения. Нер-во (1) означает,
что
расположено от
на расстоянии не более ,
т.е.
за исключением самой точки
.
Нер-во (2) означает, что значение ф-и
не выходит из интервала
или
.
След-но точки графика ф-и должны находится
в полосе шириной 2,
если
Односторонние пределы.
О.
Число А наз правым(левым) пределом ф-и
в точке
,
если для
сущ-ет ,
такое,что для всех
, удовлетворяющих рав-ву
+
(
-
);
.
+ ( - ) .
Связь между односторонними пределами.
Ф-я имеет в предел только тогда, когда в этой точке сущ-ет как левый так и правый предел и они равны. В этом случае предел ф-и равен одностороннему пределу.
Пределы ф-и при стремлении аргумента к бесконечности.
О.
Пределом ф-и
при
наз число А такое, что для
.
Обозначают
.
О.
Число наз пределом ф-и при
+
(
-)
если для
(
).
Бесконечно большие и бесконечно малые ф-и.
О.
Ф-я
наз
бесконечно малой при
,
если
;
. Н.:
явл.
бесконечно малой при
.
Св-ва бесконечно малых ф-ий:
если
ф-я
имеет
предел
при
,
то
можно принять
,
где
– бесконечно малая при
если
ф-я
представляется в виде
,
где
–бесконечно малая при
,
то предел
при
будет равен
сумма конечного числа бесконечно малых ф-ий при будет бесконечно малой ф-ей при
произведение двух бесконечно малых ф-ий при есть бесконечно малая при .
произведение бесконечно малой ф-и при на ограниченную ф-ю есть бесконечно малая ф-я, при
произведение бесконечно малой ф-и при на постоянную есть бесконечно малая при .
О.Ф-я
наз бесконечно большой при
,
если
можно найти такое число ,
что при
.
Бесконечно
большая ф-я при
не имеет предела. Условно говорят, что
и
пишут
.
Вопрос №18. Основные теоремы о пределах ф-ии.
Замечательные пределы.
Т. Ф-я не может иметь более 1-го предела при .
Т.
Если каждая из ф-ий
и
имеет предел при
,
то их сумма, разность, произведение
также имеют пределы. Причем предел при
Если
кроме того
,
то сущ-ет предел частного причем предел
частного равен частному пределов.
Следствие
1.
Постоянный множитель можно выносить
за знак предела, т.е.
Следствие
2.
Если
,
то
Т.
Пусть ф-и
определены в некот окрестности точки
.
Если для
из
этой окрестности вып-тся нер-во
и ф-и (1), (2) имеют одинак. пределы при
,
то ф. (3) имеет тот же предел при
.
Т. Пусть ф. определена в нек-ром промежутке, содержащем и если при ф-я имеет «+»(«-«) предел, то найдется такая окрестность точки , что для из этой окрестности ф.- «+» («-«).
Т.
Если ф.
и
определены в нек-ром промежутке,
содержащем точку
и для
из этого промежутка кроме
вып-тся нер-во
причем ф.
и М имеют пределы при
,
тогда
.
О.
Отношение двух ф.
есть неопределенность вида
(или
)
если
и
бескон. малые (беск. большие). В этом
случае о пределе частного нельзя ничего
определенного сказать, он может быть
=0, = постоянной или =.
Раскрыть эти неопределенности значит
вычислить предел если он сущ-ет или
док-ть, что он не сущ-ет.
1-метод раскрытия неопределенности-сокращение общего множителя.
2-метод: деление на степень .
разделим
на
3-метод: первый замечательный предел.
;
4-метод: 2-ой замечательный предел.
