2. Случайная величина. Функция распределения св, основные её свойства.

– вероятностное пространство. Случайной величиной называется измеримая функция , ставящая в соответствие каждому элементарному исходу число . Функцией распределения случайной величины называется функция , значение которой в точке x равно вероятности события , то есть

Основные свойства функции распределения.

F1. поскольку F(x) – вероятность.

F2. F(x) – неубывающая функция, то есть если , то .

событие входит в событие при условии . Тогда или .

F3.

Событие - невозможное событие, поэтому .

Событие - достоверное событие, поэтому .

F4. F(x) – непрерывная слева функция в каждой точке х.

возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к . События и . , последовательность монотонная и ее предел . .

F5. .

объединение двух несовместных событий и . Из следует .

F6. .

По определению , где – убывающая последовательность, . Поскольку , согласно свойству непрерывности вероятности F7. .

Так как и , то .

На основании свойств F1-F7 могут быть получены важные для практических целей результаты, а именно:

(2.2)

Так как .

3.Условное математическое ожидание. Кривые регрессии на примере двумерной св.

Условным математическим ожиданием с. величины при условии, что , называется величина:

Величина является функцией с. величины  (см. формулу 3.44), следовательно, сама является с. величиной, которую мы будем обозначать M(/). Область определения с. величины M(/)_=y = M(/y) совпадает с множеством значений с. величины .

Свойства условного математического ожидания.

1. M(C) = C

2. M(a + b) = aM() + b

3. M( + ) = M() + M()

4. M() = M()M(),если  и  независимы при условии ν.

5. M[ M()]=M

, формула полного математического ожидания.

6. , h и  – некоторые функции

7. M(/) = M, если  и  - независимы.

.

8.

Билет 10

1.Локальная теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли число испытаний – n велико, то для всех m справедливо приближенное равенство , где , где функцию называют плотностью стандартного нормального распределения.

Так как , где .

.

Обозначим через ; , если x – ограниченная величина.

Далее ;

.

Отсюда . .

2. Стандартное нормальное распределение, его характеристическая функция.

Случайная величина имеет нормальное распределение, если плотность распределения имеет вид - параметры распределения, m – средним значением случайной величины, – средним квадратичным отклонением. Нормальная случайная величина практически никогда не отклоняется от своего среднего значения m более чем на . Если , , то такой нормальный закон называют стандартным нормальным законом распределения. и . Хар-ой функцией с. величины называется функция:

3. Коэффициент корреляции св, его свойства.

Коэффициентом корреляции с. величин  и  называют число  =  ( ,), определяемое равенством

Его свойства:

1. ( ,) =1 Справедливость утверждения следует из свойства 1 ковариаций.

2. Справедливость утверждения следует из свойства 4 ковариаций.

3. Если  и  независимы, то ( ,) = 0

Справедливость утверждения следует из свойства 2 ковариаций

Обратное утверждение справедливо только для нормально распределенных с. величин, в общем случае оно не имеет места.

4. Пусть . Тогда . Знак “+” надо брать, когда имеют одинаковые знаки, и знак “-” – в противоположном случае.

коэффициент корреляции инвариантен относительно линейных преобразований с. величин с точностью до знака.

5. (,) =  1 тогда и только тогда, когда с. величины , и  линейно зависимы.

Если (,,) =  1, то существуют числа a и b, такие , что  =a + b. Для определенности выберем знак “+”. Тогда М

Так как  = 1, то c вероятностью 1 .

= aξ+b. Если взять  = -1, то в скобке вместо знака “-” надо взять знак “+”, остальные действия аналогичны.

Если же  =a + b, то .

Билет 11

1.Задача о совпадениях.

На отдельных карточках написаны номера от 1 до n. Карточки располагаются в случайном порядке. Какова вероятность того, что хотя бы для одной карточки ее номер совпадет с порядковым номером в выборке.

Событие - карточка с номером к окажется на k-м месте. Тогда событие , . Имеем , и т.д. Тогда по формуле вероятности суммы событий .

Искомая сумма есть частичная сумма ряда Тейлора для функции при . Поэтому при достаточно больших n .

2. ЗБЧ(для одинаково распределённых случайных величин)Теорема Бернулли.

Билет12

1.Интегральная формула Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то вероятность того, что число успехов μ заключено в границах от до , приближенно равна: , где .

Интеграл , где - инетеграл Лапласа, . В силу четности и .

В терминах интеграла Лапласа интегральная теорема имеет вид:

2. Равномерное распределение: определение, обозначение. Производящая функция распределения, её использование для вычисления числовых характеристик.

Вероятность попадания случайной величины на интервал равна , она пропорциональна длине этого интервала. Таким образом, равномерное распределение реализует принцип геометрической вероятности при бросании точки на отрезок .

Характеристической функцией с. величины называется функция:

3.Матеметическое ожидание св, его свойства.

Математическим ожиданием случайной величины называется число

Свойства математического ожидания.

М1. , если С-const. Для С ,

M2.

М3.

М4. , если и - независимые случайные величины.

Пусть и - непрерывные случайные величины. Тогда

М5. Если с вероятностью 1 , то

; .

если: 1) с вероятностью 1, то ; 2) с вероятностью 1, то

М6.

Результат опирается на известное интегральное неравенство .

М7. - неравенство Коши-Буняковского.

Рассмотрим с. величину λξ + η: квадратный трехчлен неотрицателен относительно λ, следовательно, его дискриминант не положителен:

.

М8. Если , то .

Билет13

1. Независимые события: определения, свойства. Формула умножения вероятности.