Класифікація систем за кількістю розв’язків.
При розв’язуванні системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса можемо отримати наступні випадки:
якщо одне з рівнянь набуває вигляду
,
то система несумісна;якщо система набуває трикутного виду і кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих, то система має єдиний розв'язок (тобто система сумісна і визначена);
якщо система має менше рівнянь, ніж невідомих, то вона сумісна і невизначена.
Припустимо,
що в системі залишилось
рівнянь з
невідомими
.
Будь-які
змінних (невідомих) системи
лінійних рівнянь з
змінними (невідомими)
називаються основними,
якщо визначник із коефіцієнтів при них
відмінний від нуля, а інші
– неосновними
(або вільними).
Основними
можуть бути різні групи із т
змінних. Кількість різних способів
вибору т
змінних із загального їх числа скінченна
і дорівнює числу комбінацій із
елементів по т,
тобто
.
Отже, кількість способів розбиття
змінних системи на основні і неосновні
обмежена цим числом.
Із нескінченної множини розв’язків системи лінійних рівнянь з невідомими виділимо так звані базисні.
Базисним розв'язком системи т лінійних рівнянь з п невідомими називається всякий її розв’язок, в якому неосновні змінні мають нульові значення. Кожному розбиттю змінних системи на основні і неосновні відповідає один базисний розв’язок. Отже, існує не більше ніж базисних розв'язків системи.
Якщо в базисному розв'язку деякі основні невідомі рівні нулеві, то такий базисний розв’язок називається виродженим.
Серед розв’язків системи т лінійних рівнянь з п невідомими, в тому числі і базисних, слід виділити ті, всі компоненти яких невід’ємні.
Базисний розв'язок системи т лінійних рівнянь з п невідомими називається допустимим, якщо всі компоненти його невід’ємні, і недопустимим, якщо хоча б одна компонента від’ємна.
Практично для розв’язування систем лінійних рівнянь спрощують не систему, а розширену матрицю системи:
Над матрицею виконують елементарні перетворення: змінюють порядок рядків, множать рядки на відмінне від нуля число, до будь-якого рядка матриці додають інший, помножений на деяке відмінне від нуля число. Внаслідок таких перетворень кожен раз одержують розширену матрицю системи, рівносильну даній.
Приклад.
Розв’язати
систему:
Розв’язання. Прямий хід методу. Записуємо розширену матрицю системи і виконуємо над нею елементарні перетворення:
Зворотний хід методу. За останньою матрицею відновлюємо систему рівнянь:
З неї
послідовно отримуємо:
.
Шуканий розв’язок:
Приклад.
Розв’язати
систему:
Розв’язання.
Нехай
– основні (базисні) змінні;
– неосновні (вільні).
Загальний
розв’язок системи:
.
Поклавши
,
отримаємо базисний розв’язок:
.
Приклад.
Розв’язати
систему:
Розв’язання.Прямий
хід:
.
Зворотний
хід :
Оскільки
,
то система несумісна.
Однорідні
лінійні рівняння
— це рівняння, вільні члени яких рівні
нулю.Система однорідних рівнянь завжди
сумісна, оскільки має нульовий розв'язок
(
,
так як
).
Важливим є питання: при якій умові
система має ненульові розв'язки, тобто
є невизначеною? Відповідь дають наступні
теореми.
Теорема 1. Для того, щоб однорідна система мала ненульові розв'язки, необхідно і достатньо, щоб ранг r її матриці коефіцієнтів був менше п.
Дійсно,
якщо
,
то система має єдиний розв’язок:
.
Якщо ж
,
то система невизначена (несумісною вона
не буває), отже, має ненульові розв’язки
серед множини розв’язків.
Із доведеної теореми випливає:
Теорема 2. Для того, щоб однорідна система п лінійних рівнянь з п невідомими мала ненульові розв’язки, необхідно і достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю.
Твердження теореми 2 є частинним випадком теореми Кронекера-Капеллі.
Таким чином, нами розглянуто 3 методи розв’язування систем лінійних рівнянь. На відміну від матричного методу і методу Крамера, метод Гаусса дозволяє розв'язувати системи, в яких кількість рівнянь і кількість невідомих можуть бути різні. Ця суттєва відмінність привела до поширеності цього методу в лінійному програмуванні та при використанні комп’ютерних технологій.