2. Простое алгебраическое расширение поля.

Пусть дано произвольное числовое множество М. Очевидно, всегда найдутся числовые поля, которые содержат все числа множества М, например, поле С.

Минимальным полем Р{М}, которое содержит данное числовое множество М, называется поле, которое является пересечением всех числовых полей, содержащих множество М.

Ясно, что для всякого множества М минимальное поле Р{М} всегда существует и является подполем произвольного другого числового поля, которое содержит множество М.

Примеры:

1. М = {1}. Тогда каждое числовое поле содержит это множество. Минимальным полем, которое содержит это число 1, есть, очевидно, поле Q. Действительно, поле Q принадлежит всем числовым полям. С другой стороны, никакое иррациональное число не может принадлежать всем числовым полям, ибо оно не принадлежит хотя бы числовому полю Q. Поэтому естественно поле Q назвать просто минимальным числовым полем.

2. Рассмотрим минимальное поле, содержащее число . Очевидно, что это - поле Q( ) чисел вида а + b , где а и b - произвольные рациональные числа. Действительно, это числовое множество образует поле, которое, очевидно, содержит . С другой стороны, каждое другое поле Р, которое содержит , должно содержать и всё поле Q( ), ибо вместе с рациональными числами и числом в Р должны входить все числа а + b , которые являются результатом сложения и умножения указанных чисел.

2. Пусть Р - произвольное поле, Р. Простым расширением поля Р с помощью элемента называется наименьшее поле, содержащее множество Р и элемент .

Обозначим это минимальное поле F{Р, }. Это поле действительно минимальное расширение поля Р с помощью , так как всякое расширение поля Р, которое содержит , будет содержать и F{Р, }, по определению минимального поля.

Аналогично можно рассматривать расширение Р( , ,…, ), образованное присоединением нескольких чисел , ,…, к полю Р, то есть минимальное поле F{Р, , ,…, }, которое содержит как Р, так и числа , ,…, _. Расширение, образованное присоединением одного числа часто называют простым.

Определение 4. Поле Р( ), образованное присоединением к полю Р числа , алгебраического относительно поля Р, называется простым алгебраическим расширением поля Р.

Структура простого алгебраического расширения характеризуется следующей теоремой.

Теорема 1. Поле Р( ), образованное из поля Р, присоединением корня , неприводимого над полем Р многочлена n-ой степени

f(х) = х + а х +... + а х + a

состоит из всех чисел вида = с + с + с + ... + с (2), где с , с ,..., c - произвольные числа из поля Р.

Доказательство: Покажем сначала, что числа вида (2) образуют поле. То, что сумма и разность чисел вида (2) являются числами того же вида, очевидно. Рассмотрим произведение и частное таких чисел. Число вида (2) можно рассматривать, как результат подстановки вместо х в некоторый многочлен q(х) над полем Р не выше (n - 1)-ой степени. = q( ). Пусть имеем два числа = q ( ), = q ( ). Тогда произведение = q ( )q ( ) = q( ), где q(х) - многочлен степень которого уже может превышать n-1. Разделим q(х) на f(х) с остатком.

Имеем: q(х) = f(х) (х) + r(х) (3)

где степень остатка r(х) меньше степени многочлена f(х), то есть не превышает n-1. Подставляя в тождество (3), имеем q( ) = r( ), то есть = r( ). Другими словами, произведение чисел и есть число вида (2), ибо r(х) - многочлен, степень которого не превышает n-1.

Перейдём к рассмотрению частного. Достаточно показать, что для всякого числа = q( ) 0 вида (2) тоже будет числом вида (2). Так как f(х) - неприводимый над полем Р многочлен, то многочлен q(х) или взаимно простой с f(х), или делится на f(х). Но последнее невозможно, так как степень q( ) меньше степени f( ), поэтому (f,q)=1.

Для взаимно простых многочленов, как известно, справедлива теорема о том, что существует единственная пара многочленов (х) и (х), таких что, выполняется тождество

f(х) (х) + q(х) (х)=1.

Полагая здесь х = и учитывая, что f( ) = 0, получим q( ) ( ) = 1, то есть ( ) = 1. Следовательно, = ( ). Если многочлен (х) имеет степень меньше n, то утверждение доказано. Если же степень многочлена (х) больше или равна n, то делим (х) на f(х) с остатком, т.е. полагаем (х) = f(х) (х) + г(х), откуда ( ) = r( ) = и степень r( ) меньше n. Тем самым - тоже является числом вида (2).

Следовательно, числа вида (2) действительно образуют поле. Обозначим его Р . Остается доказать, что Р = Р( ). Так как поле Р содержит как поле Р, так и число , то оно содержит и Р( ), которое по определению является минимальным полем с такими свойствами, т.е. Р Р( ). С другой стороны, всякое поле, которое содержит и и Р, должно включать и все числа вида (2), которые образуются из чисел поля Р с помощью операций сложения и умножения. Значит, Р( ) Р . Из двух найденных включений вытекает, что

Р = Р( ).

Следствие: Если - корень многочлена второй степени над полем Р f(х) = х² + pх + q, причем Р, то простое алгебраическое расширение Р( ) поля Р, образованное присоединением числа состоит из всех чисел вида а + b , где а, b - произвольные числа поля Р.

Примеры:

3. Поле Q( ) образуется присоединением к полю Q корня неприводимого в поле Q многочлена второй степени f(х) = х² - 2. Элементы поля Q( ) имеют вид а + b , где а, b - рациональные числа.

4. Рассмотрим структуру поля Q( ). Число = является корнем неприводимого над полем Q многочлена третьей степени f(х) = х³ - 2. Поэтому все элементы этого поля Q( ) по теореме 1 имеют вид:

=с + c + c , где с , с , с₂ - рациональные числа.

5. Поле С комплексных чисел образуется, как известно, из поля R действительных чисел присоединением к нему корня i неприводимого над R многочлена второй степени f(x) = x + 1

Из доказанной теоремы вытекает, что все элементы поля С, т.е. все комплексные числа имеют вид = а + bi, где а, b R.

Введем такое определение.

Определение 5: Если - корень квадратного трехчлена над полем Р не принадлежит полю Р, то простое алгебраическое расширение Р( ), образованное из поля Р присоединением к нему , называется квадратичным расширением поля Р.

Рассмотренное выше поле Q( ) есть, очевидно, квадратичное расширение поля Q, образованное присоединением корня многочлена f(х) = х² - 2.