4. Тройной интеграл.

Вычисление тройного интеграла от функции , определённой в области V, сводится к вычислению интеграла вида

где - проекция области V на плоскость , и - уравнения поверхностей, ограничивающих область V соответственно снизу и сверху. Если область ограничена линиями и , , , то от тройного интеграла переходим к трёхкратному

В тройном интеграле, так же как и в двойном, порядок интегрирования может быть изменён.

Пример 5.

В ычислить , если .

Область V ограничена параболическим цилиндром с образующей, параллельной оси , и плоскостями , , (рис. 6).

И з рисунка видно, что наиболее рационально интегрировать при проецировании области V на плоскость (рис. 7), при этом , . Граница области D образована параболой и прямой .

Следовательно,

5. Замена переменных в тройном интеграле.

Н аряду с прямоугольной системой координат в пространстве могут быть введены цилиндрическая и сферическая системы координат.

Цилиндрическая система координат.

Прямоугольные координаты точки М связаны с её цилиндрическими координатами следующими соотношениями:

, , , (5)

где , , (рис. 8). При переходе от прямоугольных координат x, y, z к цилиндрическим , , z по формулам (5) якобиан преобразования , поэтому

. (6)

Ф ормулой (6) удобно пользоваться тогда, когда область V проецируется в круг или часть круга.

Сферическая система координат.

Сферическими координатами точки M называют тройку чисел , где r – расстояние от точки M до начала координат, - угол между положительным направлением оси и лучом OM, - угол между положительным направлением оси и лучом , где - проекция точки М на плоскость (рис. 9). Связь между прямоугольными и сферическими координатами определяется соотношениями

, , , (7)

где , , .

В сферических координатах модуль якобиана преобразования , поэтому

.

Этой формулой удобно пользоваться, если область V – шар или часть шара.

6. Приложения тройного интеграла.

Объём тела, занимающего область V, определяется по формуле:

.

Пример 6.

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями и .

Тело ограниченно снизу параболоидом вращения с вершиной в начале координат, а сверху – параболоидом вращения с вершиной в точке (рис. 10).

О бласть V проецируется на плоскость в область, ограниченную окружностью (рис. 11), уравнение которое получено исключением переменной z из уравнений параболоидов.

Так как область V проецируется в окружность, используем переход в цилиндрическую систему координат.

.

Переведём область V в , используя формулы (5):

Уравнение окружности имеет вид: , тогда

7. Криволинейные интегралы I рода.

Криволинейный интеграл I рода от функции по кривой L обозначается .

1. Если кривая L задана уравнением , , то справедливо равенство

(8)

2. Если кривая L задана уравнением , , , то . (9)

3. Если кривая L задана в полярных координатах уравнением , , то

(10)

Пример 7.

Вычислить криволинейный интеграл , где L – первая арка циклоиды

Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (9):