Задание 32

Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение

Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

А =

данной системы и ранг расширенной матрицы

.

Поменяем местами первую и третью строку.

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (–2), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (–5), получим:

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на –, получим:

.

Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3, т.е. числу неизвестных. Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.

1. Решим систему методом Гаусса. Последней матрице соответствует система:

Прямой ход метода Гаусса завершен. Обратным ходом находим:

х₃= 0; х₂= – 1; х₁= 1 – 2х₂–3 х₃= 1 + 2 = 3.

Итак, х₁=3; х₂= – 1; х₃= 0 – решение системы.

2. Для нахождения решения системы матричным методом, перепишем систему в матричной форме: , где А =,.

Решение системы в матричной форме имеет вид:

Находим определитель Δ основной матрицы системы:

или, где– алгебраические дополнения элементовматрицы А.

Запишем и вычислим определитель матрицы A:

Δ = = –5 · 3 · 3 – 2 · 2 · 1 + 1 · 2 · 8 – 1 · 3 · 1 – 2 · 2 · 5 – 3 · 2 · 8 =

= –45 – 4+ 16 – 3 –20 – 48 = – 104.

Обратная матрица существует, так как Δ = – 104 0.

Находим алгебраические дополнения:

А₁₁= (–1)¹⁺¹·= – 9 – 4 = –13; А₁₂= (–1)¹⁺²·= –(6 – 2) = – 4;

А₁₃= (–1)¹⁺³·= 4 + 3 = 7; А₂₁= (–1)²⁺¹·= –(24 + 2) = – 26;

А₂₂= (–1)²⁺²·= 15 +1 = 16; А₂₃= (–1)²⁺³·= –(10 – 8) = –2;

А₃₁= (–1)³⁺¹·= 16 – 3 = 13; А₃₂= (–1)³⁺²·= –(10 +2) = –12;

А₃₃= (–1)³⁺³·= –15 –1 6 = –31.

Составим обратную матрицу:

.

Находим матричное решение системы:

Х =.

Отсюда следует, что х₁= 3; х₂= –1; х₃= 0.

Ответ: х₁= 3; х₂= –1; х₃= 0.

Задание 42

Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений

Решение

С помощью элементарных преобразований найдем ранг основной матрицы системы:

.

Поменяем местами первую и вторую строки, затем умножим первую строку на (–) и сложим со второй, умножим первую строку на (–2) и сложим с третьей, получим:

.

Ранг системы равен r= 2, а число неизвестныхn= 4. Так как ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения. Размерность пространства решений этой системыn–r= 4 – 2 = 2. Преобразованная система, эквивалентная исходной, имеет вид:

2х₁– 3х₂– 2х₃+ х₄= 0, 2х₁– 3х₂= 2х₃– х₄, 2х₁= 2х₃– х₄+(–8х₃+х₄),

х₂+ 4х₃–х₄= 0,х₂= –8х₃+х₄, х₂=–8х₃+х₄),

х₁= –х₃+х_4,

х₂=х₃+х₄,

Эти формулы дают общее решение. В векторном виде его можно записать следующим образом:

,

где и– произвольные числа. Вектор-столбцыиобразуют базис пространства решений данной системы.

Полагая х₃= с₁, х₄= с₂, где с₁, с₂– произвольные постоянные, получим общее решение в векторном виде.

Задание 52

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

.

Решение

Составляем характеристическое уравнение матрицы

;

(–3 – λ) (1 – λ) ( 4 – λ) – (4 – λ) (–2) 2 = 0;

– (3 + λ) (1 – λ)(4 – λ) + 4(4 – λ) = 0;

– (4 – λ)( (3 + λ) (1 – λ) –4) = 0;

– (4 – λ) (3 – 2 λ –λ²– 4) = 0;

(4 – λ) (λ²+ 2 λ+1) = 0;

(4 – λ) = 0 или λ²+ 2λ + 1 = 0;

λ₁=4;D= 4 – 4 = 0;

λ_2,3=.

λ₁= 4,λ_2,3= –1 – собственные значения линейного преобразования.

Для отыскания собственных векторов используем систему уравнений:

(–3 – λ)х₁+ 2 х₂= 0,

–2 х₁+ (1 – λ)х₂= 0,

15 х₁– 7х₂+ (4 – λ)х₃= 0,

При λ₁= 4 получим систему:

–7 х₁+ 2х₂= 0, х₁=х₂, х₁= 0,

– 2х₁– 3х₂= 0,х₂= 0,х₂= 0,

15х₁–7 х₂+0 х₃= 0, х₃– любое, х₃– любое.

Таким образом, числу λ₁= 4 соответствует собственный вектор

, где х₃ – произвольное действительное число.

В частности, при х₃= 1 имеем.

При λ_2,3= –1 получим систему:

–2х₁+2 х₂= 0, х₁= х₂,

–2 х₁+2х₂= 0,х₂– любое,

15 х₁– 7х₂+ 5х₃= 0, х₃= –х₂

Числу λ_2,3= – 1 соответствует собственный вектор

, где х₂ – произвольное действительное число.

В частности, при х₂= 1 имеем.

Итак, матрица А имеет три собственных значения λ₁= 4, λ₂= – 1 (кратности 2).

Соответствующие им собственные векторы (с точностью до постоянного множителя) равны и.