Вычисление длины плоской линии

Пусть линия представляет собой график функции , рассматриваемый при . Будем предполагать, что функция имеет на непрерывную производную. Наша цель -- найти длину линии (по сути дела, нам придётся дать определение того, что мы считаем длиной произвольной линии).

Рассмотрим разбиение отрезка точками и отметим соответствующие точки на графике. На каждом отрезке разбиения приближённо заменим дугу графика на хорду .

Рис.9.

Длина этой хорды по теореме Пифагора равняется

Рис.10.

Преобразуем это выражение к виду

По теореме Лагранжа, на интервале найдётся такая точка , что

Поэтому получаем

Рассмотрим теперь точки , , как отмеченные точки и получим размеченное разбиение . Соответствующая этому разбиению суммарная длина ломаной равна

Будем считать эту длину приближённым значением длины линии , а предел этой величины при неограниченном измельчении разбиения -- по определению равным длине линии :

Заметим теперь, что величина представляет собой интегральную сумму, составленную по размеченному разбиению для функции . Эта интегральная сумма при измельчении разбиения будет стремиться к значению определённого интеграла, так что получаем в итоге:

(5)

        Пример 4   Найдём длину отрезка параболы , лежащего между точками и .

Рис.11.

Пусть ; тогда и

Для вычисления значения интеграла проинтегрируем по частям и преобразуем интеграл в правой части так, что получится уравнение относительно :

	(5*)
	(6)

Здесь мы учли при перобразовании, что

Последний интеграл в правой части (5*) -- табличный:

Получаем в итоге уравнение для искомой величины :

откуда находим

    

Аналогично построению, проведённому выше, можно выполнить построение вписанной ломаной для линии , заданной параметрическими уравнениями в -мерном пространстве. Пусть кривая на плоскости задана параметрически   . Тогда длина этой кривой вычисляется по формуле 

. (7)

Если на плоскости (то есть при ) в качестве параметра линии, заданной уравнением в полярных координатах , взять полярный угол , то формула длины линии принимает вид

При выводе этой формулы нужно учесть связь между декартовыми координатами и полярными координатами :

Выведите эту формулу длины из формулы (7) в качестве упражнения.

        Пример 5   Найдём длину дуги кривой (циклоиды), заданной на плоскости параметрическими уравнениями

лежащей между точками (соответствует ) и (соответствует ).

Рис.12.

Для функций и вычислим производные:

Тогда искомая длина дуги равна

    

        Пример 6   Пусть линия на плоскости с полярными координатами задана уравнением ( ). Поскольку функция периодична с периодом , достаточно рассматривать только значения аргумента , при которых выражение неотрицательно. Кривая имеет вид, изображённый на следующем рисунке.

Рис.13.

Найдём длину этой линии.

Имеем

Поэтому искомая длина равна

Нахождение объёма тела, образованного вращением плоской фигуры.

Пусть тело ограничено поверхностью, полученной вращением в пространстве линии , лежащей в плоскости и рассматриваемой при , вокруг оси , а также (с боков) плоскостями и (см. рис.).

Рис.14.

Поскольку поперечными сечениями такого тела вращения служат круги радиуса , площадь поперечного сечения будет в этом случае выражаться формулой

а объём тела вращения равен

или, более кратко,

(8)

        Пример 7   Пусть в плоскости рассматривается линия на отрезке .

Рис.15.

Эта линия вращается в пространстве вокруг оси , и полученная поверхность вращения ограничивает некоторое тело вращения (см. рис.). Найдём объём этого тела вращения.

Рис.16.

Согласно формуле (8), получаем:

ПРИМЕРЫ

    Пример 8   Найдём площадь ограниченной области, лежащей между осью и линией .

Поскольку линия пересекает ось в трёх точках: , , .

Рис.17.

Ограниченная область между линией и осью проектируется на отрезок , причём на отрезке линия идёт выше оси (то есть линии ), а на  -- ниже. Поэтому площадь области можно подсчитать так:

    

        Пример 9   Найдём площадь области, заключённой между первым и вторым витком спирали Архимеда ( ) и отрезком горизонтальной оси .

Рис.18

Первый виток спирали соответствует изменению угла в пределах от 0 до , а второй -- от до . Чтобы привести изменение аргумента к одному промежутку, запишем уравнение второго витка спирали в виде , . Тогда площадь можно будет найти по формуле, положив и :

    

        Пример 10   Найдём объём тела, ограниченного поверхностью вращения линии вокруг оси (при ).

Рис.19.

Для вычисления объёма тела вращения применим формулу

Имеем:

    

        Пример 11   Вычислим длину дуги линии , расположенной между прямыми и .

Рис.20.

Так как

и

(мы взяли в качестве значения корня , а не , поскольку при ), длина дуги равна

Ответ: