Уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим 3 типа уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Пусть дано уравнение y’’=f(x). Порядок можно понизить, введя новую функцию p(x), положив y’=p(x). Тогда y’’=p’(x) и получаем ДУ первого порядка: p’=f(x). Решив его, т.е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение у’=р(х). Получим общее решение заданного уравнения y’’=f(x).

2. Пусть дано уравнение y’’=f(x;y’), не содержащее явно искомой функции у.

Обозначим у’=р, где р=р(х) – новая неизвестная функция. Тогда у’’=p’ и уравнение y’’=f(x;y’) принимает вид р’=f(x;p). Пусть р= - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на у’, получаем ДУ: y’= . Оно имеет вид y’’=f(x). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения y’’=f(x;y’) будет иметь вид

у= .

Частным случаем уравнения y’’=f(x;y’) является уравнение y’’=f(y’), не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: y’=p(x), y’’=p’= . Получаем уравнение p’=f(p) с разделяющимися переменными.

3. Рассмотрим уравнение y’’=f(y;y’), которое не содержит явно

независимой переменной х.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(у), зависящую от переменной у, полагая y’=p. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р=р(у(х)):

, т.е. = . Теперь уравнение y’’=f(y;y’) запишется в виде =f(y;p).

Пусть р= является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(у) на y’, получаем y’= - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения y’’=f(y;y’):

.

Частным случаем уравнения y’’=f(y;y’) является ДУ y’’=f(y). Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: y’=p(y), y’’= .

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Основные понятия

Уравнения вида

,

где - заданные функции (от х), называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка.

Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции называются коэффициентами уравнения, а функция g(x) – его свободным членом.

Если свободный член g(x)=0, то уравнение называется линейным однородным уравнением, иначе – неоднородным.

Разделив уравнение на и обозначив

запишем уравнение в виде приведенного:

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим ЛОДУ второго порядка:

И установим некоторые свойства его решений.

Теорема:

Если функции и являются частными решениями уравнения , то решением этого уравнения является также функция

,

где и - произвольные постоянные.

Подставим функцию и ее производные в левую часть ЛОДУ .

Получаем:

так как функции и - решения уравнения и, значит, выражения в скобках тождественно равны 0.

Таким образом, функция также является решением уравнения .

Из теоремы, как следствие, вытекает, что если и - решения уравнения ,

То решениями его будут также функции у= + и у=с .

Функция содержит две произвольные постоянные и является решением уравнения .

А для ответа на вопрос, может ли эта функция являться общим решением, введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

Функции и называются линейно независимыми на интервале (a;b), если равенство

, где , R, выполняется тогда и только тогда, когда = =0.

Если хотя бы одно из чисел или отлично от 0 и выполняется равенство , то функции и называются линейно зависимыми.

Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан.

Для двух дифференцируемых функций и вронскиан имеет вид

W(x)= .

Имеют место следующие теоремы.

Теорема: Если дифференцируемые функции (х) и (х) линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен 0.

Так как функции и линейно зависимы, то в равенстве значение или отлично от 0. Пусть 0, тогда = ; поэтому для любого х (a;b)

W(x)= =0.

Теорема: Если функции (х) и (х) - линейно независимые решения уравнения на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.

Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Пусть дано ЛОДУ второго порядка

,

Где p и q постоянны.

Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти два его частных решений, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения в виде

,

где k – некоторое число. Дифференцируя эту функцию 2 раза и подставляя выражения для у, у’ и у’’ в уравнение , получим: , т.е.

, или =0 ( ).

Уравнение =0 ( ) называется характеристическим уравнением ДУ .

При его решении возможны следующие три случая

Случай 1: Корни уравнения и уравнения =0 ( ). Действительные и различные: (D = - q > 0).

В этом случае частными решениями уравнения являются функции =

и = . Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), т.к. их вронскиан

W(x) = =

Следовательно, общее решение уравнения ,

Случай 2: Корни и характеристического уравнения =0 ( ), действительные равные: .

В этом случае имеем лишь одно частное решение .

Покажем, что наряду с решением уравнения будет и .

Действительно, подставим функцию в уравнение . Имеем: +

Но , т.к. есть корень уравнения =0 ( ) ; , т.к. по условию .

Поэтому , т.е. функция является решением уравнения .

Частные решения и образуют фундаментальную систему решений: . Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ имеет вид

Случай 3: Корни и уравнения =0 ( ) комплексные: ,

В этом случае частными решениями уравнения являются функции и .

По формулам Эйлера:

,

Имеем

,

.

Найдем два действительных частных решения уравнения . Для этого составим две линейные комбинации решений для и :

и .

Функции и являются решениями уравнения , что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка. Эти решения и образуют фундаментальную систему решений, т.к. . Поэтому общее решение данного уравнения запишется в виде или

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)

Структура общего решения ЛНДУ второго порядка

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

,

где , , – заданные, непрерывные на (a;b) функции. Уравнение

,

левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ , называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема (структура общего решения ЛНДУ):

Общим решением у уравнения является сумма его произвольного частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения , т.е. .

Убедимся, что функция – решение уравнения . Так как есть решение уравнения , а – решение уравнения ,

то и .

В таком случае имеем:

Это означает, что функция является решением уравнения .

Покажем теперь, что функция

является общим решением уравнения . Для этого надо доказать, что из решения можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

, .

Продифференцировав функцию и подставив начальные условия в данную функцию и ее производную, получим систему уравнений:

где , с неизвестными и . Определителем этой системы является определитель Вронского для функции и в точке . Функции и линейно независимы, т.е. . Следовательно, система имеет единственное решение:

и .

Решение является частным решением уравнения , удовлетворяющим заданным начальным условиям

, .

Теорема доказана.