Натуральна форма рівнянь руху

Цей спосіб можна використовувати тоді, коли відома траєкторія руху точки (рис. 1.4). Виберемо на цій лінії будь-яку точку відліку . Положення точки на траєкторії будемо визначати дуговою координатою (тобто довжиною дуги ). Нехай зліва від точки дугова координати буде від’ємна, праворуч від точки – додатна. При русі точки дугова координата змінюється, тобто залежить від часу. Щоб знайти положення точки на траєкторії в будь-який момент часу необхідно знати залежність:

. (1.8)

Рівняння (1.8) і виражає закон руху точки вздовж траєкторії.

Примітка 1. У рівнянні (1.8) величина визначає положення точки на дуговій координаті, а не пройдений нею шлях.

У випадку прямолінійного руху, якщо вісь спрямувати вздовж траєкторії точки, будемо мати і закон прямолінійного руху точки буде:

. (1.9)

Примітка 2. Традиційно прийнято пройдений точкою шлях позначити літерою , а дугову координату точки .

Вектором переміщення називають вектор, який проведений з початкового положення в кінцеве положення переміщуваної точки (рис. 1.5).

При прямолінійному русі точки вектор переміщення є відрізком траєкторії, при криволінійному русі – він замикає розглядувану частину траєкторії. Для різних проміжків часу вектори переміщень мають різну величину і напрям (рис. 1.6). Для нескінченно малого проміжку часу вектор переміщення при криволінійному русі співпадає з напрямом дотичної до траєкторії руху, де в даний момент часу знаходиться рухома точка .

Швидкість і прискорення точки при векторному способі опису руху

Нехай точка рухається по деякій траєкторії. Скористаємось векторним способом визначення руху точки , тобто нам відомо, що . Нехай рухома точка в момент часу знаходилась у положенні , радіус-вектор якої , а в момент часу точка попала в положення , радіус-вектор якої (рис. 1.7). Тоді за проміжок часу точка отримала переміщення .

Візьмемо відношення і назвемо його середньою швидкістю. Середня швидкість характеризує зміну вектора переміщення точки за деякий проміжок часу . Вектор середньої швидкості напрямлений по вектору . При криволінійному русі точки вектор середньої швидкості напрямлений по хорді в сторону руху точки, а при прямолінійному русі – вздовж самої траєкторії.

Якщо зменшувати проміжок часу , то точка буде наближатись до точки , а хорда прямує до положення дотичної в точці , а середня швидкість буде характеризувати швидкість точки в положенні . Така швидкість називається миттєвою швидкістю або швидкістю точки в даний момент часу

. (1.10)

Вектор швидкості точки в даний момент часу дорівнює першій похідній по часу від радіус-вектора точки. Вектор миттєвої швидкості напрямлений по дотичній до траєкторії руху в сторону руху точки.

Позначення означає, що похідна береться тільки по часу .

Нехай в деякий момент часу точка знаходиться в положенні і має швидкість , а в момент часу знаходиться в положенні і має швидкість (рис. 1.8). Тоді за проміжок часу сталася зміна швидкості .

Відношення – середнє прискорення.

Побудуємо вектор . Для цього умовно перенесемо вектор швидкості в точку . Тоді маємо . Вектор повинен бути діагоналлю паралелограма, а вектори і його сторонами. Вектор середнього прискорення напрямлений по вектору , а вектор завжди напрямлений в сторону увігнутості кривої лінії. Вектор прискорення в даний момент часу дорівнює граничному значенню середнього прискорення точки коли проміжок часу наближається до нуля.

. (1.11)

Прискорення руху точки дорівнює першій похідній по часу від вектора швидкості. Підставивши вираз (1.11) в (1.10), отримаємо ще одну формулу:

. (1.12)

Прискорення дорівнює другій похідній по часу від радіуса-вектора рухомої точки.