6.5. Парадокс близнецов.

С Земли вылетела ракета, на которой летний Петр отправился в космическое путешествие к звезде Арктур. Для жителей Земли, среди которых близнец Петра Павел, расстояние до звезды Арктур составляет

с ветовых лет. Корабль, на котором находится Петр,

летит со скоростью .

Сколько лет будет близнецам Павлу и Петру,

когда Петр, закончив своё путешествие, вернется

обратно на Землю?

С точки зрения оставшегося на Земле Павла путешествие займет на больше времени, чем потребуется свету, чтобы достичь звезды и вернутся обратно ( лет). Поэтому, когда Петр вернется из путешествия, возраст Павла будет равен лет. В то же время для Павла часы в ракете идут медленнее в раза, и всё путешествие для Петра займет года. Т.о., к концу путешествия Петр будет в возрасте года, т.е. на года моложе своего брата-близнеца, оставшегося на Земле.

Космический путешественник Петр, наблюдая время по корабельным часам, аналогичным оставшимся на Земле, не чувствует, что оно течет медленнее. Однако для Петра, движущегося с субсветовой скоростью, расстояние от Земли до звезды Арктур укорочено, благодаря лоренцеву сокращению, и составляет световых лет. Поэтому всё путешествие с точки зрения Петра займет года, что согласуется с расчетами оставшихся на Земле наблюдателей.

Т.о., возникает видимое противоречие, т.к. с точки зрения космонавта Петра земные часы должны идти медленнее, чем корабельные. Поэтому, казалось бы, задача должна быть симметричной, и братья должны остаться в одинаковом возрасте.

Но парадокс устраняется, если учесть, что в действительности задача асимметрична. Близнец Павел, оставшийся на Земле, всё время находится в одной инерциальной системе отсчета, в то время как его брат космонавт Петр переходит из одной инерциальной системы отсчета в другую, что и позволяет ему “стареть медленнее”.

Эту же задачу можно проиллюстрировать, используя диаграммы Минковского.

С Земли (точка с координатой ) вылетела

ракета, движущаяся со скоростью . Свяжем

систему отсчета с Землей, где остался Павел, а с

ракетой, движущейся с постоянной скоростью в

направлении оси , может быть связана система,

причем её оси составляют с осями прямоугольной

системы угол, тангенс которого равен .

Тогда ось мировая линия Петра при удалении

ракеты от Земли, событие прибытие Петра на

Арктур, а отрезок время путешествия от Земли

до звезды, измеренное по часам в космическом

корабле, которое составляет года. По земным часам, которые движутся относительно корабля с той же

скоростью , с точки зрения Петра пройдет всего года. На диаграмме этот промежуток времени соответствует отрезку , отсекаемому линией одновременности системы на оси (мировой линии Павла).

Возвращающегося Петра сопровождает другая цепочка синхронизированных часов ( система), которые на участке – мировая линия возвращения Петра на Землю ( ) – снова покажут время года. На Земле, с точки зрения Петра, снова пройдет года – отрезок , отсекаемый линией одновременности отбытия Петра из системы звезды Арктур, и моментом прибытия на Землю.

Отрезок остался “неучтенным” и именно он определяет время, “сэкономленное” Петром при переходах в другие инерциальные системы отсчета, измеренное по земным часам и равное года.

6.6. – векторы

Определение: Четырехмерным вектором называется совокупность четырех величин , которые при преобразовании четырехмерной системы координат преобразуются как компоненты – радиус-вектора (индекс пробегает значения 0, 1, 2, 3).

При преобразовании Лоренца:

; ; ; . (6.13)

Квадрат «длины» – вектора определяется как

. (6.14)

Для удобства записи подобных выражений вводят два «сорта» компонент – векторов с верхними и нижними индексами, обозначая их буквами и . При этом

, , , . (6.15)

Вектор с компонентами называют контравариантным вектором, а вектор с компонентами - ковариантным вектором.

Закон преобразования – вектора, выраженного через ковариантные компоненты, в знаках отличается от того же закона при использовании контравариантных компонент (6.13):

; ; ; . (6.16)

Квадрат -вектора записывают теперь таким образом:

. (6.17)

Для упрощения записи такие суммы принято записывать просто как , предполагая суммирование по всякому индексу, повторяющемуся в данном выражении (в каждой паре одинаковых индексов один должен стоять наверху, а другой – внизу).

Аналогично квадрату – вектора составляется скалярное произведение двух разных – векторов:

. (6.18)

Вообще во всякой паре всегда можно переставлять верхние и нижние индексы, и результат от этого не меняется

. (6.19)

Произведение (или ) является – скаляром – оно инвариантно по отношению к поворотам четырехмерной системы координат.

По аналогии с – радиус-вектором компоненту – вектора называют временной , а компоненты - пространственными. Квадрат – вектора может быть положительным, отрицательным и равным нулю (по аналогии с терминологией для интервалов, соответственно, времениподобный, пространственноподобный и нулевой – векторы).

По отношению к чисто пространственным поворотам (преобразованиям, не затрагивающим оси времени) три пространственные компоненты – вектора составляют трехмерный вектор . Временная компонента – вектора по отношению к тем же преобразованиям представляет собой трехмерный скаляр.

Перечисляя компоненты – вектора, часто их контравариантные компоненты записывают как

. (6.20)

При этом ковариантные компоненты того же – вектора записывают в виде

. (6.21)

а квадрат – вектора:

. (6.22)

Для радиус-вектора:

, , . (6.23)

У трехмерных пространственных векторов нет необходимости различать контра- и ковариантные компоненты. Поэтому, если это не может привести к недоразумениям, везде записывают их компоненты с индексами внизу. В частности, по повторяющимся индексам подразумевается суммирование по трем значениям , например, .

Примечание: иногда в литературе вводят другие компоненты: ,

тогда квадрат интервала записывается как

.

Геометрическая иллюстрация – радиуса-вектора.

1. Мировая линия частицы покоящейся в точке 2. Мировая линия равномерно движущейся частицы

.

3 . Пусть мировые точки и характеризуют

события и . Расстояние между

событиями есть интервал, определяемый с помощью

псевдопифагоровой теоремы: