Задание № 3.

В ходе обследования 9 пациентов среди прочих показателей измеряли их рост и вес. Результаты измерений приведены в таблице:

Xi	Рост, см	150	155	160	155	165	190	175	180	165
Yi	Вес, кг	50	52	59	61	64	95	85	70	66

Необходимо провести корреляционный анализ между весом и ростом пациентов при помощи алгоритма, описанного ранее (стр.21). Сделать вывод о достоверности коэффициента корреляции. Построить корреляционное поле, используя программу Excel (Вставка-> Диаграмма ->точечная).

Результаты выполнения задания оформить на отдельном листе. Лист назовите «Задание 3».

Коэффициент корреляции Пирсона также может быть вычислен в программе Excel: «Сервис\Анализ данных\Корреляция». Отметим, что коэффициент корреляции Пирсона симметричен, то есть не зависит от перестановки переменных: r(x0, x) = r(x, x0).

Универсальных рецептов установления корреляции между немонотонно и нелинейно связанными переменными на сегодняшний день не существует.

Отметим, что большое (близкое к плюс единице или к минус единице) значение коэффициента корреляции говорит о связи переменных, но ничего не говорит о причинно-следственных отношениях между ними. Так, например, из высокой корреляции температуры воздуха за окном и времени суток нельзя делать вывод о том, что движение солнца обусловлено изменениями температуры воздуха.

Итак, корреляционный анализ позволяет устанавливать наличие или отсутствие зависимости между переменными. Другим инструментом, дающим ответ на этот вопрос, является дисперсионный анализ, который не является предметом рассмотрения данной работы.

Регрессионный анализ

Если корреляционный и дисперсионный анализ дают ответ на вопрос, существует ли взаимосвязь между переменными, то регрессионный анализ предназначен для того, чтобы найти «явный вид» этой зависимости.

Цель регрессионного анализа – найти функциональную зависимость между переменными. Для этого предполагается, что зависимая переменная (иногда называемая откликом) определяется известной функцией (иногда говорят – моделью), зависящей от зависимой переменной или переменных (иногда называемых факторами) и некоторого параметра. Требуется найти такие значения этого параметра, чтобы полученная зависимость (модель) наилучшим образом описывала имеющиеся экспериментальные данные.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию этого вопроса. Перенесём имеющийся набор экспериментальных точек на плоскость, и, тем самым, построим корреляционное поле. Нам необходимо провести линию, которая наилучшим образом отображает закон размещения опытных точек. Эта линия должна проходить как можно ближе по отношению ко всем точкам корреляционного поля. Называют её линией регрессии. Поскольку здесь мы рассматриваем самый простой вид корреляционной зависимости – линейную корреляцию, то линией регрессии будет прямая, а уравнение прямой, как известно, можно записать в виде Y=AX+B.

Y

Y_i

0 X_i X

Рис. 4. Корреляционное поле с линией регрессии.

Например, в простой линейной регрессии предполагается, что зависимая переменная y является линейной функцией y = a x + b от независимой переменной x. Требуется найти значения параметров a и b, при которых прямая a x + b будет наилучшим образом описывать (аппроксимировать) экспериментальные точки (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_n, y_n). Для поиска параметров обычно используют метод наименьших квадратов – ищут такие значения параметров, чтобы сумма по всем экспериментальным точкам квадратов расстояний (по вертикали) от них до построенной зависимости была минимальной. Линейной регрессионной моделью для двух случайных величин X и Y будем называть уравнение вида Y=AX+B, где A и B – коэффициенты регрессии, которые определяются по выборке наблюдений случайных величин X и Y.

Используя один из математических методов, было доказано, что коэффициенты регрессии вычисляются по формулам:

(21)

где x_i и y_i - элементы выборок (i=1,...,n).

Регрессионный анализ, помимо того, что он позволяет количественно описывать зависимость между переменными, дает возможность прогнозировать значения зависимых переменных – подставляя в найденную формулу значения независимых переменных, можно получать прогноз значений зависимых.