Частные случаи Применение к уравнению, разрешенному относительно одной величины

Часто используется вариант пи-теоремы для функциональной зависимости одной физической величины от нескольких других,,,:

В этом случае пи-теорема утверждает, что зависимость эквивалентна связи

где

а определяются так же, как и выше.

Случай, когда пи-теорема дает вид зависимости с точностью до множителя

В одном важном частном случае, когда в зависимости

все аргументы имеют независимые размерности, применение пи-теоремы дает

то есть вид функциональной зависимости определяется с точностью до константы. Значение константы методами теории размерностей не определяется, и для ее нахождения нужно использовать экспериментальные или другие теоретические методы.

Замечания о применении пи-теоремы

• Выбор аргументов с независимыми размерностями, вообще говоря, можно делать различными способами, в результате чего при применении пи-теоремы формально могут получаться разные выражения. Однако на самом деле получающиеся результаты эквивалентны, и из одной формы записи можно получить другую путем перехода к комбинациям безразмерных параметров.

• В формулировке пи-теоремы требование инвариантности зависимости является важным. Если, например, при работе в Международной системе единиц (СИ) в эксперименте была получена зависимость пути , пройденного падающим телом, от времени

то в таком виде она не удовлетворяет условиям пи-теоремы.

Применение пи-теоремы для физического моделирования

Пи-теорема применяется для физического моделирования различных явлений в аэродинамике, гидродинамике, теории упругости, теории колебаний. Моделирование основано на том, что если для двух природных процессов («модельного» и «натурного», например для потока воздуха в вокруг модели самолета в аэродинамической трубе и потока воздуха вокруг реального самолета) безразмерные аргументы (их называют критерии подобия) в зависимости

совпадают, что может быть осуществлено за счет специального выбора параметров «модельного» объекта, то и безразмерные значения функции также совпадают. Это позволяет «пересчитывать» размерные экспериментальные значения параметров от «модельного» объекта к «натурному» даже если вид функциинеизвестен. Если совпадения всех критериев подобия для «модельного» и «натурного» объектов достичь невозможно, то часто прибегают к приближенному моделированию, когда достигается подобие только по критериям, отражающим влияние наиболее существенных факторов, тогда как влияние второстепенных факторов учитывается приближенно на основе дополнительных соображений (не следующих из теории размерностей).

Примеры применения пи-теоремы

• Частота колебаний колокола

Излучение звука колоколом происходит в результате его собственных колебаний, которые могут описываться в рамках линейной теории упругости. Частота издаваемого звука зависит от плотности, модуля Юнгаи коэффициента Пуассонаметалла, из которого сделан колокол, и от конечного числа геометрических размеров,,,колокола:

Если используется класс систем единиц LMT, то в качестве величин с независимыми размерностями можно, например, выбрать ,и(выбранные величины, входящие в максимальную размерно-независимую подсистему, подчеркнуты):

и применение пи-теоремы даёт

Если имеются два геометрически подобных колокола из одного и того же материала, то для них аргументы функции совпадают, поэтому отношение их частот обратно пропорционально отношению их размеров (или обратно пропорционально кубическому корню из отношения их масс). Эта закономерность подтверждается экспериментально.

Отметим, что если бы в качестве величин с независимыми размерностями были выбраны другие величины, например ,и, то применение пи-теоремы дало бы формально другой результат

но получаемые выводы остались бы, естественно, теми же.

• Сопротивление при медленном движении шара в вязкой жидкости

При медленном (при малых числах Рейнольдса) стационарном движении сферы в вязкой жидкости величина силы сопротивления зависит от вязкости жидкости, а также от скоростии радиусасферы (плотность жидкости не входит в число определяющих параметров, так как при малых скоростях влияние инерции жидкости пренебрежимо мало). Применяя к зависимости

пи-теорему, получаем

т.е. в этой задаче сила сопротивления находится с точностью до константы. Значение константы из соображений размерности не находится (решение соответствующей гидродинамической задачи даёт для константы значение , которое подтверждается экспериментально).