События и операции над ними

Пространство элементарных исходов. Основным понятием теории вероятностей является множество всех возможных результатов данного случайного эксперимента.

Определение 1. Пространством элементарных исходов называется множество (омега), содержащее все возможные взаимоисключающие результаты данного случайного эксперимента. Элементы множества называются элементарными исходами и обозначаются буквой .

Отметим сразу, что любое непустое множество можно считать пространством элементарных исходов какого-то случайного эксперимента.

Определение 2. Событиями называются подмножества множества . Говорят, что произошло событие , если эксперимент завершился одним из элементарных исходов, входящим в множество .

Итак, элементарный исход - это мельчайший неделимый результат эксперимента, а событие может состоять из одного или нескольких исходов.

Конечные и счетные множества удобно задавать перечислением их элементов. Например, - множество, состоящее из первых ста натуральных чисел. Несчетные множества обычно задают указанием свойства, которым обладают все элементы множества. Так, - множество действительных чисел из интервала

Пример 1. Один раз подбрасывают игральную кость. Рассмотрим пространство элементарных исходов

Элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.

Событие произойдет, если выпадет одно или два очка; событие означает, что выпадет нечетное число очков. Событие состоит из одного элементарного исхода и означает появление шести очков.

Пример 2. Подбрасываются две игральные кости. Будем считать их различимыми и назовем одну из них первой, другую - второй. Пространством элементарных исходов является множество пар чисел где - число очков, выпавших на первой кости, - на второй. В этом множестве элементарных исходов:

(1.1)

Заметим, что для симметричных костей все эти исходов равновозможны: ни одна из этих комбинаций не имеет больше шансов выпасть, чем другая. Действительно, на первой кости с равными шансами выпадает любая грань. Это означает, что результат бросания двух костей имеет столько же шансов оказаться в первой строке матрицы (1), что и во второй, в третьей и т. д. Но на второй кости снова с одинаковыми шансами выпадает любая грань, поэтому и каждое место в строке равновозможно.

Событие "на первой кости выпадет одно очко" можно записать так ;

событие "на второй кости выпадет одно очко" запишется так

;

событие означает, что сумма выпавших очков равна четырем;

событие - на костях выпадет одинаковое число очков.

Пример 3. Подбрасываются две одинаковые игральные кости. Элементарными исходами будем считать пары чисел где Например, элементарный исход случается, если на одной из костей выпадает одно очко, на другой - два очка. В множестве двадцать один исход:

Для симметричных костей эти исходы равновозможными уже не будут: например, исход имеет вдвое больше шансов появиться, чем исход Мы просто перестали различать исходы из примера 2, симметричные друг другу относительно главной диагонали матрицы (1).

Теперь событие "сумма выпавших очков равна четырем" состоит из двух элементарных исходов и Событие "на костях выпадет одинаковое число очков" по-прежнему включает шесть исходов. Слова "на первой кости выпадет одно очко" никакого события уже не описывают, а событие означает, что хотя бы на одной из костей выпало одно очко (ср. с примером 2).

Пример 4. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать положение центра монеты. Пространство элементарных исходов такого эксперимента - множество всех точек стола. Оно бесконечно и несчетно. Событием можно назвать, например, попадание центра монеты на лист бумаги, лежащий на столе, в левую или правую половину стола.

Пример 5. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов является бесконечным, но счетным множеством: где означает выпадение решки, а - выпадение герба при одном подбрасывании. Событие "герб выпал при броске с четным номером" выглядит так:

Пример 6. В коробке лежат один черный и два белых шара. Из коробки достают наугад один шар.

Можно определить два разных пространства элементарных исходов. Первое из них состоит из двух исходов - мог появиться белый шар или черный. Эти исходы, очевидно, не будут равновозможными: появление белого шара вдвое вероятнее, чем появление черного.

Если мы хотим иметь дело с равновозможными элементарными исходами, шары следует занумеровать (или различать как-нибудь иначе). Тогда множество будет состоять из трех равновозможных элементарных исходов.

Пример 7. В коробке лежат один черный и два белых шара. Из коробки достают наугад два шара. Порядок следования шаров нам безразличен. Занумеруем шары, чтобы элементарные исходы были равновозможными (это может оказаться удобным). Пространство элементарных исходов состоит из трех элементов:

Событие "вынуты два белых шара" включает один исход а событие "вынуты разноцветные шары" состоит из двух исходов:

Можно, как в примере 6, рассмотреть пространство элементарных исходов, состоящее из двух элементов: - вынуты два белых шара или шары разных цветов. Но в таком пространстве второй исход имеет вдвое больше шансов случиться, чем первый.

Операции над событиями. В теории вероятностей рассматривают те же операции над событиями (множествами), что и в теории множеств. Дадим определения новым событиям - результатам этих операций. Объединением событий и называется событие, состоящее в том, что из двух событий и случилось хотя бы одно. Это событие включает как элементарные исходы из множества так и элементарные исходы из множества (рис. 1.1). Пересечением событий и называется событие, состоящее в том, что произошли сразу оба события и , Это событие содержит элементарные исходы, каждый из которых принадлежит и множеству и множеству Вместо часто пишут просто Рис. 1.1.  Объединение и пересечение событий Дополнением события до называется событие, состоящее в том, что произошло , но не произошло . Событие содержит элементарные исходы, входящие в множество , но не входящие в . Противоположным (или дополнительным) к событию называется событие , состоящее в том, что не произошло. Событие состоит из элементарных исходов, не входящих в множество (рис. 1.2). Рис. 1.2.  Дополнение и противоположное событие Выделим среди подмножеств два особых события. Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, т. е. единственное событие, включающее все элементарные исходы - событие Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, т. е. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода - "пустое множество" Объединение множеств аналогично сложению чисел, пересечение - умножению: Первое из этих равенств очевидно, а второе, хоть и противоречит интуиции, все же верно. Кроме того, объединение и пересечение событий связаны очень важными соотношениями двойственности: Пример 8. Пусть событие означает, что -я деталь бракованная, где - номер детали. Запишем с помощью операций над событиями событие - "ровно две из трех деталей бракованные": Выше записано буквально следующее: либо первые две детали бракованные, а третья годная, либо первая и третья детали бракованные, а вторая годная, либо вторая и третья детали бракованные, а первая годная. Событие , означает "все три детали годные". Событие "хотя бы одна деталь из трех бракованная" можно записать двумя способами: и Равносильность этих двух выражений следует из формул двойственности. Отношения между событиями. Множества могут пересекаться или не пересекаться, быть включены одно в другое или не быть. В теории вероятностей эти отношения событий носят особые названия. События и называются несовместными, если они не могут произойти одновременно: События называются попарно несовместными, если несовместны любые два из них, т. е. для любых Говорят, что событие влечет событие и пишут если всегда, как только происходит событие происходит и событие Это означает, что любой элементарный исход, входящий в множество одновременно входит в множество т. е. содержится в (рис. 1.3) Рис. 1.3.  Попарно несовместные и вложенные события Пример 9. При бросании двух игральных костей события "сумма очков равна четырем" и "на первой кости выпало шесть очков" несовместны: они не могут случиться одновременно. Событие "сумма очков равна двум" влечет за собой событие "на костях выпало одинаковое число очков". Действительно, сумма очков равна двум лишь при выпадении двух единиц. Но тогда на костях выпадет одинаковое число очков. Обратное включение неверно: не всегда, когда на костях выпадает одинаковое число очков, сумма этих очков равна двум. Событие "сумма очков меньше пяти" влечет за собой событие "сумма очков меньше семи".