I Распределительный закон.

Доказательство:

1. Докажем, что (k + m) = k + m для любого вектора и любых чисел k и m.

При k = m=0 справедливость ( k + m) = k + m очевидна для любого вектора

При k = 0 m0 получается равенство m = m , верное для любого вектора и любого числа m (аналогично в случае k0 и m= 0) . При k0 и m0 предположим, что  k  m, т.е. k0 и  1, тогда вектор + .

Кроме того, =  +   = (1 + ) .

Следовательно, согласно определению произведения вектора на число

+ = (1 + ) .

Умножив это равенство на k0, получим требуемое: ( k + m) = k + m . Итак, мы доказали, что ( k + m) = k + m для любого вектора и любых чисел k и m.

2. Докажем, что k( + ) = k + k для любых векторов и и любого числа k.

При k=0 справедливость k( + ) = k + k очевидна для любых векторов и .

При k0 ( случай рассматривается аналогично).

Отложим от произвольной точки О вектор = , затем от точки А вектор = . Тогда вектор = + .. т.к. , то  +  =   +  . По определению произведения вектора на число что k( + ) = k + = k + k . Если k , то, т.к. >0 , получим k( + ) и k + k . Отсюда k( + ) k + k , следовательно, k( + ) = k + k . Если k<0, то k( + ) , k , k . Тогда k( + ) k + k . Следовательно, k( + ) = k + k

Пусть теперь векторы и неколлинеарные. Отложим от произвольной точки О векторы = и = k , а от точки А₁ и А - векторы = и = k . Случаю k >0 соответствует представленный рисунок. Т.к., согласно определению произведения вектора на число, векторы k и коллинеарные, то прямые АВ и А₁В₁ параллельны. Тогда  ОАВ   ОА₁В₁ по двум углам ( ОАВ =ОА₁В₁ как соответственные при АВА₁В₁ угол при вершине О - общий) , причем k - коэффициент подобия. Следовательно, = k

П о правилу треугольника = + . Тогда =k ( + ). С другой стороны, = + = k + k . Итак, k( + ) = k + k .

II Распределительный закон.

Н а рисунке рассмотрен случай: когда k<0. Тогда аналогично  ОАВ  ОА₁В₁ по двум углам ( ОАВ =ОА₁В₁ как накрест лежащие при АВ А₁В₁,  ВОА = В₁ ОА₁ как вертикальные) причем k - коэффициент подобия. Следовательно, = k . По правилу треугольника = + . Тогда =k ( + ). С другой стороны, = + = k + k . Итак, мы доказали, что k( + ) = k + k .

Сочетательный закон.

Докажем, что k(m ) = (km) для любого вектора и любых чисел k и m. При k=0 или m=0 или =0 справедливость k(m ) = (km) очевидна для любого вектора и любых чисел k и m.

При k0, m0 и 0, получим, что km)  = km =km = k m = k(m ).

Если km>0, то (km) и k(m ) .

Если km <0, то(km) и k(m ) .

В каждом случае (km) k(m ) и  (km) = k(m ), следовательно, k(m ) = (km) . Итак, мы доказали, что k(m ) = (km) для любого вектора и любых чисел k и m.

В силу доказанных свойств умножения вектора на число можно составлять векторные выражения, аналогичные многочленам первой степени в алгебре. Эти выражения можно преобразовывать так же, как преобразуются соответствующие алгебраические выражения, т.е. приводить подобные члены, раскрывать скобки, выносить за скобки общий множитель, переносить члены из одной части равенства в другую с обратным знаком действия и т.д.

Например, 2(3а-4b +c) -3(2a +b -3c) =6a -8b +2c -6a -3b +9c = -11b +11c=11(c-b).