Контрольная работа 2

Задание 1

Определить, какую линию задаёт уравнение . Сделать рисунок.

Решение

Приведём уравнение линии к каноническому виду:

, . Получили уравнение окружности с центром в точке (-3;-5) и радиуса 7. Заданная линия – это верхняя половина указанной окружности.

Делаем рисунок.

Задание 2

В стандартном базисе пространстве R⁴ даны векторы , , , и

1) Убедиться, что векторы образуют базис пространства ;

2) найти разложение вектора по этому базису;

3) найти угол между векторами и .

Решение

1) Векторы образуют базис пространства , если их линейная комбинация равна нулю, только при что возможно только тогда, когда определитель однородной системы уравнений с неизвестными не равен нулю, то есть

Вычислим определитель, разложив его по элементам второй строки

.

Следовательно, заданные векторы образуют базис пространства .

2) Найдем координаты вектора в базисе из векторного уравнения .

Этому векторному уравнению соответствует система

.

Решив систему, находим

Следовательно, разложение вектора по базису : .

3) Если скалярное произведение в определено аналогично тому, как это было в , то

.

Следовательно, , то есть векторы и ортогональны.

Задание 3

1) Найти пределы функции при а) ;

б) ; в) ; г) ;

2) Найти .

Решение

1. а) ;

б) ;

в) ;

г)

.

2) .

Задание 4

Методом бисекции (половинного деления) найти один из корней уравнения с точностью до 0,01.

Решение

Рассмотрим функцию . Так как , а , то корень уравнения принадлежит интервалу . Найдём середину этого интервала . Так как , то корень уравнения принадлежит интервалу (0;0,5). Найдём середину этого интервала и вычислим . Следовательно, корень уравнения принадлежит интервалу . Продолжим этот процесс до тех пор, пока длина интервала станет меньше заданной точности 0,01.

,

,

,

,

.

Длина интервала меньше требуемой точности. В качестве приближённого значения корня возьмём значение соответствующее середины последнего интервала, что есть .

Задание 5

Найти производные заданных функций:

1) ;

; 4) .

Решение

Используя таблицу производных, свойства производной, правило дифференцирования сложной функции и формулу нахождения производной функции, заданной параметрически, находим:

1)

.

2)

.

.

4)

.

Задание 6

Найти и на отрезке , если .

Решение

Своего наибольшего ( ) и наименьшего ( ) значения функция может достигать либо в экстремальной точке, принадлежащей заданному отрезку, либо на границе отрезка.

Найдём критические точки заданной функции: , , , , ,

В заданный отрезок попадает только точка .

Найдём: , , .

Сравнивая вычисленные значения функции, делаем вывод: своего наименьшего значения функция достигает в точке , причём , наибольшего значения функция достигает в точке , причём .