Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Пусть некоторая физическая величина S совершает гармонические колебания (1). Легко показать, что вторая производная по времен от S равна . С учетом (1) получаем, что , т.е.

. (3)

Итак, можно сделать вывод: если величина S изменяется по гармоническому закону (1), то отсюда следует справедливость равенства (3). В математике показывается и обратное: если для величины S = S(t) справедливо равенство (3) при всех допустимых значениях t, то S(t) имеет только вид (1) и никакой другой. Причем А и в (1) есть произвольные постоянные, конкретные значения которых зависят от так называемых начальных условий, т. е. от значений S и ее производной S' в некоторый момент времени t (обычно при t = 0).

Равенство (3) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Таким образом, мы получили чрезвычайно важное утверждение:

если с помощью законов физики для физической величины S удалось записать дифференциальное уравнение вида , то отсюда будет следовать, что S изменяется обязательно, по гармоническому закону с циклической частотой ( ). Конкретные значения амплитуды А и начальной фазы зависят от начальных условий.

Заметим, что в (3) стоит величина , которая всегда положительна. Поэтому, например, уравнение не будет дифференциальным уравнением гармонических колебаний, т.к. не найдется такого действительного значения , для которого было бы равно « – 6 ».

Свободные и собственные колебания. Затухание.

Свободными колебаниями (или собственными) называются колебания, происходящие в системе, предоставленной самой себе в отсутствие внешних воздействий. Такие колебания возникают в системе в результате однократного выведения ее из состояния устойчивого равновесия. При свободных колебаниях в системе всегда действуют силы (в общем случае причины), стремящиеся возвратить систему в положение равновесия (положение, при котором в системе отсутствуют колебания). В случае колебаний груза на пружине возвращающей силой будет сила упругости пружины. Частота, с которой происходят собственные колебания, называется собственной частотой колебаний.

Колебания, которые происходят с постоянным размахом (амплитудой) колеблющейся величины в течение всего времени наблюдения, называют незатухающими. Колебания, идущие с постоянно уменьшающимся размахом, называют затухающими.

Свободные колебания реальных систем всегда затухающие. Механические колебания затухают, главным образом, из-за трения и возбуждения в окружающей среде упругих волн. В электрических колебательных системах затухание вызывается тепловыми потерями в проводниках, потерями энергии на излучение электромагнитных волн. Чем сильнее препятствующее колебаниям воздействие, тем быстрее затухают колебания и прекращаются вовсе.

Наличие трения или любого другого сопротивления колебаниям вызывает торможение колебательного процесса, что приводит к увеличению периода, точнее, условного периода. Дело в том, что при затухании те понятия периода и частоты, которые были введены нами ранее, теряют смысл, т. к. затухающие колебания идут с уменьшающимся размахом колеблющейся физической величины, и нет строгой повторяемости значений у колеблющейся величины.

Следует отметить, что небольшое затухание слабо меняет период. Например, если амплитуда колебаний уменьшается за период приблизительно в 1,5 раза, то периоды, рассчитанные без учета затухания и по более точной формуле, учитывающей затухание, будут отличаться всего на 0,2 %. Даже когда амплитуда колебаний уменьшается в 3–7 раз за период (сильное затухание), погрешность в определении периода по формуле, не учитывающей затухание, составит не более 5 %.

К сказанному выше о затухающих колебаниях можно добавить, что при увеличении затухания в системе условный период возрастает и при некоторых условиях обращается в бесконечность. Это означат, что изменение величины S не носит колебательного характера, а представляет собой так называемый апериодический процесс. На рис. 2 приведен пример зависимости S(t) для затухающего колебания, а примеры апериодических процессов даны на рис. 3 и 4. Значение S при t = 0, т. е. начало графика S(t), для затухающих колебаний или апериодического процесса зависит от того, в каком положении была система в момент начала наблюдений.