3.1. Монотонность функции.

Теорема. Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на .

1. Если для любого значения аргумента из интервала , то функция возрастает на этом интервале.

2. Если для любого значения аргумента из интервала , то функция убывает на этом интервале.

3. Е сли для любого значения аргумента из интервала , то функция постоянна на этом интервале.

Пример: Определить интервалы монотонности заданной функции.

1. .

Решение. Функция определена, непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси. Найдем производную первого порядка функции. .

Корни производной найдем из условия .

Методом интервалов исследуем знаки первой производной (рис.9).

Рис.9

При или производная , следовательно, функция возрастает. Для производная <0, следовательно, функция убывает.

2. .

Решение. Функция определена, непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси.

Рис.10

Функция возрастает, если

Функция убывает, если (рис.10).

3.2. Экстремум функции.

Теорема (I достаточное условие существования экстремума функции).

Если производная функции в точке равна 0 ( ) и при переходе через эту точку изменяет знак на противоположный, то данная точка является точкой экстремума функции, а именно:

• точкой максимума, если при переходе через неё слева направо знак производной изменяется с + на -.

• Точкой минимума, если при переходе через неё слева направо знак производной изменяется с - на +.

Для определения точек экстремума можно воспользоваться также следующей теоремой.

Теорема (II достаточное условие существования экстремума).

Пусть и , тогда - точка экстремума функции , причем -точка максимума, если ,

- точка минимума, если .

Экстремумом функции называют значение функции в точке экстремума.

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение. Функция определена, непрерывна и дифференцируема при .

.

Для нахождения точек экстремума воспользуемся I достаточным признаком.

Рис.11

x=0 - точка max, т.к. знак производной изменяется с + на -.

x=6 - точка min, т.к. знак производной изменяется с - на +.

Значения 0 и 12 - экстремумы функции (рис.11).

3. Направление выпуклости графика функции.

(б) (а)

Рис.12

Пусть функция дифференцируема на , тогда в каждой точке графика, где , существует касательная.

Определение 1. График функции называют выпуклым вверх (выпуклым) на , если он расположен не выше любой своей касательной на этом интервале (рис.12(а)).

Определение 2. График функции называют выпуклым вниз (вогнутым) на , если он расположен не ниже любой своей касательной на этом интервале (рис.12(б)).

Направление выпуклости графика функции связано со знаком производной второго порядка .

Теорема. Пусть функция имеет на конечную производную второго порядка. Если на интервале , то на этом интервале график направлен выпуклостью вверх. Если на интервале , то на этом интервале график направлен выпуклостью вниз.

Примеры. Исследовать направление выпуклости графика функции.

1. .

Решение. определена, если x>0. Найдём производную второго порядка функции:

при любом значении x из области определения функции, следовательно, на своей области определения график направлен выпуклостью вверх (рис.13).

Рис.13

2) ;

Функция определена при .

Из условия , найдём корни многочлена .

Рис.14

Следовательно, при функция выпукла вниз; при - функция выпукла вверх; при - функция выпукла вниз.

При переходе через точки графика с абсциссами -1,5 и 0,5 знак второй производной изменяется на противоположный (с + на - и с - на + соответственно); такие точки носят особое название - точки перегиба (рис.14).