Линейная зависимость. Геометрический смылс

 некоторая совокупность элементов векторного пространства называется линейно зависимой, если существует равная нулю линейная комбинация элементов данной совокупности или

где не все числа   равны нулю; если такой нетривиальной комбинации не существует, то данная совокупность векторов называется линейно независимой.

Линейная зависимость векторов означает, что какой-то вектор заданной совокупности линейно выражается через остальные векторы.

Каждая матрица представляет собой совокупность векторов (одного и того же пространства). Две такие матрицы — две совокупности. Если каждый вектор одной совокупности линейно выражается через векторы другой совокупности, то на языке теории матриц этот факт описывается при помощи произведения матриц:

• если строки матрицы C линейно зависят от строк матрицы B, то C = AB для некоторой матрицы A;

• если столбцы матрицы C линейно зависят от столбцов другой матрицы A, то C = AB для некоторой матрицы B.

Ранг матрицы

Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называетсярангом матрицы.

Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матрицы.

Базисом¹⁾ ненулевого векторного пространства   над полем   называется система векторов, которая

1. порождает  ,

2. линейно независима.

Теорема 1. Ненулевое векторное пространство   всегда обладает базисом. Иными словами,   являетсясвободным  -модулем.

Определение 2. Размерностью²⁾ ненулевого векторного пространства   называется мощность его базиса. Для нулевого векторного пространства   полагают, что его размерность равна нулю. Размерностьвекторного пространства   над полем   обозначается через