1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, y).

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 0] и дисперсию D[X/Y = 0].

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, y).

Функция плотности совместного равномерного распределения в области G постоянна и равна F_(X,Y) = = =

Одномерные плотности вероятности распределения X и Y

F_X(x) = _(x,y)dy = dy = = , 0 ≤ x ≤5

F_Y(y) = _(x,y)dx = dx = = , - 5 ≤ y ≤ 2

Так как F_(X,Y) = = * = F_X(x)*F_Y(y), X и Y независимы.

Случайные величины X и Y также распределены равномерно. Математические ожидания равны

M(X) = *F_x(x)dx = dx = =

M(Y) = *F_y(y)dy = dx = = - = -

То же получим по формулам для равномерного распределения:

M(X) = = =

M(X) = = = -

Центр рассеивания случайного вектора (X, Y): M(X,Y) = (M(X),M(Y)) = ( , - )

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 0] и дисперсию D[X/Y = 0].

Условная плотность вероятности φ_x(x/y) = = =

Плотность вероятности X при условии Y=0: φ_x(x/y = 0) =

Условное математическое ожидание

M(X/Y = 0) = φ_x(x/y = 0)dx = dx = =

условная дисперсия.

D(X/Y = 0) = φ_x(x/y = 0)dx – (M(X/Y = 0))² = dx – 5 = - 5 = - 5 = = = 1,25

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Найдем ковариацию X и Y.

K (X,Y) = K (Y,X) = x-M(X))(y-M(Y))f(x,y)dxdy = yf(x,y)dxdy – m_xm_y = dxdy - m_xm_y = dx dy – M(X)M(Y) = M(X)M(Y) - M(X)M(Y) = 0

Найдем дисперсии X и Y по одномерным законам распределения.

D(X) = M ((X – M(X))²) = X²f_x(x)dx – (M(X))² = dx – = - = - = = = 2,08

D(y) = M ((Y – M(Y))²) = Y²f_y(y)dy – (M(Y))² = dy - = - = - = = = 4,08

То же получим по формулам для равномерного распределения:

D(X) = = =

D(Y) = = =

Ковариационная матрица .

K =

Коэффициент корреляции .

Корреляционная матрица .

4. По определению функции распределения, .

Вероятность того, что X+Y<s, равна отношению площади S₀ той части прямоугольника G, которая лежит ниже прямой , к площади всего прямоугольника, равной 35.

Из рисунков видим, что

при s ≤ -5 , при -5< s ≤ 0 S₀ = , при 0 < s ≤ 2 S₀ = 7+4s,

при 2< s ≤ 7 S₀ = , при s > 7 S₀ = 35

при , при , при ,

при , при .

Плотность вероятности

2) .

Вероятность того, что X·Y<z, равна отношению площади S₀ той части прямоугольника, которая лежит ниже гиперболы , к площади всего прямоугольника, равной 35.

Из рисунков видим, что

при z ≤ -25 S₀ = 0

при -25 < z < 0 S₀ = 5 - )dy = (5y – z ) ^z/5₅ = z + 25 – z ,

при 0 < z ≤ 15

S₀ = 35 – 5 - )dy = 35 – (5y - z ) ²_z/5 = 35 – (10 – z - z ) = 25 + z +

При z > 10 S₀ = 35

Плотность вероятности

.

Задача 3.

Пусть время до отказа рассматриваемого изделия подчиняется экспоненциальному закону с параметром , где  — неизвестный параметр. По результатам испытаний образцов изделий получена выборка:

70.8 с, 362.23 с, 62.44 с, 76.91 с, 56.71 с, 88.05 с, 74.87 с, 103.84 с.

Найти оценку параметра , используя различные способы.

Задача 4.

Пусть определяется величина H с помощью измерительного прибора. Среднеквадратичное отклонение погрешности измерения ₀ равно 10 мм. По результатам измерений получена следующая выборка:

420.8 мм, 406 мм, 441.2 мм, 419.5 мм, 424.2 мм, 434.7 мм.

Считая, что H ~ N(, ₀), определить доверительный интервал для параметра  с уровнем доверия 0.9.

Задача 5.

Пусть измеряемая величина Y ~ N(, ) является пределом прочности при растяжении материала (Ст. 3). По результатам испытаний образцов получена выборка:

414.8 МПа, 424.5 МПа, 424.2 МПа, 425.7 МПа, 427.8 МПа, 427.8 МПа.

Установить доверительные интервалы для  и  с уровнем значимости 0.1.

Задача 6.

Данные измерения величины y в зависимости от факторов m, b и s представлены в табл. 1 и 2.

Таблица 1

Значения y в зависимости от m, b и s

№ опыта	m, кг	b, Hc/м	s, H/м	y, H
1	5	1	1	47.48
2	1	1	1	34.71
3	5	5	1	107.75
4	1	5	1	97.18
5	5	1	3	85.18
6	1	1	3	73.18
7	5	5	3	142.52
8	1	5	3	132.82

Таблица 2

Данные специальной серии опытов по измерению величины y

№ опыта	m, кг	b, Hc/м	s, H/м	y, H
1	3	3	2	91.83
2	3	3	2	89.09
3	3	3	2	90.5
4	3	3	2	89.44
5	3	3	2	89.97
6	3	3	2	90.78
7	3	3	2	91.62
8	3	3	2	88.6

Используя данные из этих таблиц, найти экспериментальную зависимость y(m, b, s). В качестве первого приближения следует выбрать линейную регрессионную модель вида

y(m, b, s) = ₀1 + ₁ m + ₂ b + ₃ s + e,

где ₀, ₁, ₂, ₃ — коэффициенты регрессии; 1, m, b, s — базисные функции (F₀ = 1, F₁ = m, F₂ = b, F₃ = s); e — случайная величина.