1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, y).

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 0] и дисперсию D[X/Y = 0].

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, y).

Функция плотности совместного равномерного распределения в области G постоянна и равна F_(X,Y) = = =

Одномерные плотности вероятности распределения X и Y

F_X(x) = _(x,y)dy = dy = = , 0 ≤ x ≤5

F_Y(y) = _(x,y)dx = dx = = , - 5 ≤ y ≤ 2

Так как F_(X,Y) = = * = F_X(x)*F_Y(y), X и Y независимы.

Случайные величины X и Y также распределены равномерно. Математические ожидания равны

M(X) = *F_x(x)dx = dx = =

M(Y) = *F_y(y)dy = dx = = - = -

То же получим по формулам для равномерного распределения:

M(X) = = =

M(X) = = = -

Центр рассеивания случайного вектора (X, Y): M(X,Y) = (M(X),M(Y)) = ( , - )

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 0] и дисперсию D[X/Y = 0].

Условная плотность вероятности φ_x(x/y) = = =

Плотность вероятности X при условии Y=0: φ_x(x/y = 0) =

Условное математическое ожидание

M(X/Y = 0) = φ_x(x/y = 0)dx = dx = =

условная дисперсия.

D(X/Y = 0) = φ_x(x/y = 0)dx – (M(X/Y = 0))² = dx – 5 = - 5 = - 5 = = = 1,25

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Найдем ковариацию X и Y.

K (X,Y) = K (Y,X) = x-M(X))(y-M(Y))f(x,y)dxdy = yf(x,y)dxdy – m_xm_y = dxdy - m_xm_y = dx dy – M(X)M(Y) = M(X)M(Y) - M(X)M(Y) = 0

Найдем дисперсии X и Y по одномерным законам распределения.

D(X) = M ((X – M(X))²) = X²f_x(x)dx – (M(X))² = dx – = - = - = = = 2,08

D(y) = M ((Y – M(Y))²) = Y²f_y(y)dy – (M(Y))² = dy - = - = - = = = 4,08

То же получим по формулам для равномерного распределения:

D(X) = = =

D(Y) = = =

Ковариационная матрица .

K =

Коэффициент корреляции .

Корреляционная матрица .

4. По определению функции распределения, .

Вероятность того, что X+Y<s, равна отношению площади S₀ той части прямоугольника G, которая лежит ниже прямой , к площади всего прямоугольника, равной 35.

Из рисунков видим, что

при s ≤ -5 , при -5< s ≤ 0 S₀ = , при 0 < s ≤ 2 S₀ = 7+4s,

при 2< s ≤ 7 S₀ = , при s > 7 S₀ = 35

при , при , при ,

при , при .

Плотность вероятности

2) .

Вероятность того, что X·Y<z, равна отношению площади S₀ той части прямоугольника, которая лежит ниже гиперболы , к площади всего прямоугольника, равной 35.

Из рисунков видим, что

при z ≤ -25 S₀ = 0

при -25 < z < 0 S₀ = 5 - )dy = (5y – z ) ^z/5₅ = z + 25 – z ,

при 0 < z ≤ 15

S₀ = 35 – 5 - )dy = 35 – (5y - z ) ²_z/5 = 35 – (10 – z - z ) = 25 + z +

При z > 10 S₀ = 35

Плотность вероятности

.

Задача 3.

Пусть время до отказа рассматриваемого изделия подчиняется экспоненциальному закону с параметром , где  — неизвестный параметр. По результатам испытаний образцов изделий получена выборка:

70.8 с, 362.23 с, 62.44 с, 76.91 с, 56.71 с, 88.05 с, 74.87 с, 103.84 с.

Найти оценку параметра , используя различные способы.

Плотность вероятности экспоненциального закона распределения , λ – неизвестный параметр.

1) Метод моментов

Объем выборки .

Выборочная средняя является точечной оценкой математического ожидания.

= _I = = 111,981 c

Математическое ожидание экспоненциального распределения выразим через его параметр.

M(t) = f(t)dt = λe^-λtdt = |u = t, du = dt; dv = λe^-λt dt, v = e^-λt dt = - e^-λt| = - t*e^-λt| + ^-λtdt = 0 - e^-λt|₀^∞ =

. Приравнивая мат. ожидание его выборочной оценке, получим оценку неизвестного параметра распределения.

=

^* = = = 0,00893 c^-1

2) Метод наибольшего правдоподобия

Функция правдоподобия ,

t _i – варианты выборки, .

.

Логарифмическая функция правдоподобия:

.

Найдем первую производную по λ: .

Приравняв её нулю, найдем критическую точку: .

Найдем вторую производную по λ: .

Вторая производная всюду отрицательна, следовательно, - точка максимума и она принимается в качестве оценки наибольшего правдоподобия неизвестного параметра λ.

^* = = = 0,00893 c^-1

3) Метод квантилей.

Найдем медиану (квантиль 0,5) выборки.

Упорядочим выборку по возрастанию:

70.8 с, 362.23 с, 62.44 с, 76.91 с, 56.71 с, 88.05 с, 74.87 с, 103.84 с.

Медиана выборки Me = = = 66,81

Теоретический квантиль 0,5 находится из условия .

Функция распределения экспоненциального распределения .

Оценку параметра находим, приравнивая теоретическую и выборочную медиану: = Me

λ^* = = = 0,001 c^-1

Задача 4.

Пусть определяется величина H с помощью измерительного прибора. Среднеквадратичное отклонение погрешности измерения ₀ равно 10 мм. По результатам измерений получена следующая выборка:

420.8 мм, 406 мм, 441.2 мм, 419.5 мм, 424.2 мм, 434.7 мм.

Считая, что H ~ N(, ₀), определить доверительный интервал для параметра  с уровнем доверия 0.9.

Довери­тельный интервал для оценки параметра нормально распределенной случайной величины с известным среднеквадратическим отклонением имеет вид , - квантиль нормального распределения.

Объем выборки .

Выборочная средняя

= _i = = 424,4 мм

По заданному уровню доверия определяется .

По таблице квантилей нормального распределения, находим квантиль порядка .

z_1-α/2 = = 6,7 мм;

424,4 – 6,7 < µ < 424,4 + 6,7 (мм);

417,7 < µ < 431,1 (мм).

C вероятностью 0,9 параметр находится в интервале: 417,7 < µ < 431,1 (мм).

Задача 5.

Пусть измеряемая величина Y ~ N(, ) является пределом прочности при растяжении материала (Ст. 3). По результатам испытаний образцов получена выборка:

414.8 МПа, 424.5 МПа, 424.2 МПа, 425.7 МПа, 427.8 МПа, 427.8 МПа.

Установить доверительные интервалы для  и  с уровнем значимости 0.1.

Пусть измеряемая величина Y ~ N(, ) является пределом прочности при растяжении материала (Ст. 3). По результатам испытаний образцов получена выборка:

433.2 МПа, 410.2 МПа, 443.3 МПа, 400 МПа, 417.1 МПа, 411 МПа.

Установить доверительные интервалы для  и  с уровнем значимости 0.1.

Объем выборки .

Выборочная средняя

= _i = = 424,1 МПа

Выборочная дисперсия

= _i² – ( )² = – 424,1² = - 179860 = 48 МПа

Исправленное среднеквадратическое отклонение

s = = = 7,6 МПа

1) Доверительный интервал для параметра случайной величины, распределённой по нормальному закону с неизвестным среднеквадратическим отклонением, имеет вид .

- квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы порядка .

По таблице, .

t_{1-α/2, n-1} = = 6,25 МПа;

48 – 6,25 = 41,75 МПа; 48 + 6,25 = 54,25 МПа;

41,75 < µ < 54,25 МПа;

C вероятностью 0,9 параметр находится в интервале41,75 < µ < 54,25 МПа.

2) Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения случайной величины , распределённой по нормальному закону, имеет вид

.

По таблице находим квантили распределения с степенями свободы.

.

.

C вероятностью 0,9 параметр находится в интервале

.

Задача 6.

Данные измерения величины y в зависимости от факторов m, b и s представлены в табл. 1 и 2.

Таблица 1

Значения y в зависимости от m, b и s

№ опыта	m, кг	b, Hc/м	s, H/м	y, H
1	5	1	1	47.48
2	1	1	1	34.71
3	5	5	1	107.75
4	1	5	1	97.18
5	5	1	3	85.18
6	1	1	3	73.18
7	5	5	3	142.52
8	1	5	3	132.82

Таблица 2

Данные специальной серии опытов по измерению величины y

№ опыта	m, кг	b, Hc/м	s, H/м	y, H
1	3	3	2	91.83
2	3	3	2	89.09
3	3	3	2	90.5
4	3	3	2	89.44
5	3	3	2	89.97
6	3	3	2	90.78
7	3	3	2	91.62
8	3	3	2	88.6

Используя данные из этих таблиц, найти экспериментальную зависимость y(m, b, s). В качестве первого приближения следует выбрать линейную регрессионную модель вида

y(m, b, s) = ₀1 + ₁ m + ₂ b + ₃ s + e,

где ₀, ₁, ₂, ₃ — коэффициенты регрессии; 1, m, b, s — базисные функции (F₀ = 1, F₁ = m, F₂ = b, F₃ = s); e — случайная величина.

Решение

Сначала найдем стандартизированные коэффициенты методом наименьших квадратов из системы .

- вектор коэффициентов парной корреляции между зависимой переменной и объясняющими переменными;

- матрица коэффициентов парной корреляции между объясняющими переменными;

- вектор стандартизированных коэффициентов.

№ опыта	m, кг	m2	b, Hc/м	b2	s, H/м	s2	y, H	y2	m·b	m·s	b·s	y·m	y·b	y·s
1	5	25	1	1	1	1	47.48	2254	5	5	1	237	47.48	47.48
2	1	1	1	1	1	1	34.71	1205	1	1	1	34,71	34.71	34.71
3	5	25	5	25	1	1	107.75	11610	25	5	5	538,75	538,75	107.75
4	1	1	5	25	1	1	97.18	9444	5	1	5	97,18	485,9	97.18
5	5	25	1	1	3	9	85.18	7256	5	15	3	425,9	85.18	255,54
6	1	1	1	1	3	9	73.18	5355	1	3	3	73,18	73.18	219,54
7	5	25	5	25	3	9	142.52	20312	25	15	15	712,6	712,6	427,56
8	1	1	5	25	3	9	132.82	17641	5	3	15	132,82	664,1	398,46
Σ	24	104	24	104	16	40	720.82	75077	72	48	48	2252,14	2642,52	1588,22

Табл.2. Данные специальной серии опытов по измерению величины y.

№ опыта	m, кг	m2	b, Hc/м	b2	s, H/м	s2	y, H	y2	m·b	m·s	b·s	y·m	y·b	y·s
1	3	9	3	9	2	4	91.83	8432,75	9	6	6	275.49	275.49	183.66
2	3		3		2		89.09	7937,03				267.27	267.27	178.18
3	3		3		2		90.5	8190,25				271.5	271.5	181
4	3		3		2		89.44	8000				268.32	268.32	178.88
5	3		3		2		89.97	8094,6				269.91	269.91	179.94
6	3		3		2		90.78	8241,01				272.34	272.34	181.56
7	3		3		2		91.62	8394,22				274.86	274.86	183.24
8	3		3		2		88.6	7850				265.8	265.8	177.2
Σ	24	72	24	72	16	32	721,83	65139,86	72	48	48	2165,49	2165,49	1443,66

По табл.1 и 2 находим выборочные средние и дисперсии

n = 8 + 8 = 16

.

= = 90,17; = = 276,1; = = 300,5;

= = 189,49;

σ_y² = - 90,17² = 8763 – 8131 = 632

Находим коэффициенты парной корреляции .

.

r_ym = = 0,157; r_yb = = 0,844; r_ys = = 0,364

Факторы m, b, s попарно некоррелированы. Получили , откуда

b₁ = 0,157; b₂ = 0,844; b₃ = 0,364

Находим оценки коэффициентов уравнения регрессии

y(m, b, s) = ₀1 + ₁ m + ₂ b + ₃ s + e

по формулам , .

β ₁^* = 0,157* = 2,79; β₂^* = 0,844 * = 15; β₃^* = 0,364 * = 12,94;

β₄^* = 90,17 – 2,79*3 – 15*3 – 12,94*2 = 90,17 – 79,25 = 10,92

Выборочное уравнение линейной регрессии

_x (m,b,s) = 10,92 + 2,79m + 15b + 12,94s

Проверим соответствие регрессионной модели результатам эксперимента.

Множественный коэффициент корреляции

= 0,932

Множественный коэффициент детерминации

R² = R²_{y mbs} = 0,932² = 0,869

Оценка значимости уравнения регрессии.

Проверим основную гипотезу при альтернативной гипотезе .

Наблюдаемое значение - статистики

* = 6,63*4 = 26,53

Критическая точка распределения Фишера

при уровне значимости (доверительная вероятность 0,95)

.

. Основная гипотеза отвергается. Коэффициент детерминации и уравнение регрессии в целом значимы. Линейная модель хорошо соответствует экспериментальным данным.