2) Как определяется операция умножения матрицы а на число ? Приведите пример. Как связаны определители квадратных матриц а и размера nxn? Ответ обоснуйте.

Произведением матрицы на число называется матрица .

Пример: .

Определитель матрицы равен , где n-размерность матрицы, умноженной на определитель А.

3) Как определяется (в матричной форме) пара симметричных взаимно-двойственных задач линейного программирования. Какими условиями связаны симметричные взаимно-двойственные задачи линейного программирования (основное неравенство)?

Задача I	Задача II
(1) (2) Найти max f при условиях (1), (2).	(3) (4) Найти min при условиях (3), (4).

Если ввести в рассмотрение матрицу из коэффициентов при неизвестных в системе (2), а также матрицы-столбцы то получим другую (матричную) форму записи задач I и II.

Задача I	Задача II
(5) (6) при условиях (5), (6)	(7) (8) при условиях (7), (8).

В таком виде может быть задана любая пара взаимно двойственных задач линейного программирования: при этом задача I может иметь произвольные размеры mxn, а задача II – соответственно размеры nxm.

Основное неравенство: Пусть Х – какое-нибудь допустимое решение задачи I (т.е. любое решение системы (5),(6)), а Y – какое-нибудь допустимое решение задачи II (любое решение системы (7), (8)). Тогда справедливо неравенство

Следствие 1 (достаточный признак оптимальности). Если для каких-то допустимых решений и задач I и II выполняется равенство то есть оптимальное решение задачи I, а - оптимальное решение задачи II.

Следствие 2. Если в одной из задач I и II целевая функция не ограничена с соответствующей стороны (т.е. в задаче I или в задаче II), то другая задача не имеет допустимых решений.

4) Найти значение параметра m, при которых строки матрицы A линейно зависимы: .

5) Вычислите определитель матрицы .

6) Найти собственный вектор матрицы , если известно, что она имеет следующие собственные значения:

7) Найти точку А’, симметричную точке A(1,0,4), относительно плоскости П: x-4y-3z-2=0.

8) Найти угловые точки выпуклого множества, заданного системой линейных ограничений:

1)Модулем комплексного числа z=x+iy называется длина . Аргументом комплексного числа z (ArgZ) называется угол между ненулевым вектором Z и положительным направлением оси ОХ

a)

b)

2)Матрица А>0 называется продуктивной, если для .

Критерии продуктивности:

1. Если для некоторого существует ,то матрица продуктивна.

2. и существует.

3. Если А>0 и норма (норма – это максимум сумм модулей элементов столбцов), причем хотя бы для одного столбца сумма его элементов меньше единицы, то А – продуктивная матрица.

4. Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда ее .

Пример:

3 )для задачи на максимум: если есть хотя бы одна отрицательная оценка, а в соответствующем столбце нет ни одного положительного элемента, то задача неразрешима. . Соответственно в задаче на минимум: если есть хотя бы одна положительная оценка, а в соответстующем столбце нет ни одного положительного столбца, то

Б.П.	X1	Х2	Х3	Х4	С.Ч.
X4	0	-6	2	1	5
X1	1	-3	-9	0	4
Z	0	-1	5	0	3

Задача на максимум