2. Нормальные и касательные напряжения. Правило знаков.

Напряжение – характеристика интенсивности внутренних сил взаимодействия,

вектор совпадает с вектором усилия . Составляющие этого вектора – нормальное и касательное напряжения, зависят от ориентации секущей плоскости, проходящей через рассматриваемую точку.

Нормальные и касательные напряжения рассматриваются на элементарном параллелепипеде, с бесконечно малыми сторонами .

Индекс нормального напряжения указывает направление нормали к площадке, на которую действует это напряжение. Напряжения растяжения считаются положительными (направлены в сторону внешней нормали).

Индекс касательного напряжения состоит из двух: первый указывает направление нормали к площадке, на которую действует напряжение, второй – направление вектора касательных напряжений.

Правило знаков для касательных напряжений: если внешняя нормаль к площадке совпадает с направлением одной из осей координат, то положительное касательное напряжение направлено вдоль соответствующей оси.

3. Свойство парности касательных напряжений.

Касательные напряжения в точке, действующие в двух взаимно перпендикулярных площадках, одинаковы. Направлены или оба к общему ребру, либо от него. Справедливо в любой ортогональной системе координат.

Доказывается с помощью уравнения моментов тела, по которому если тело находится в равновесии, то суммы всех моментов, действующих относительно любой из осей, равны нулю.

На примере :

Массовые силы имеют второй порядок малости и не учитываются, сумма касательных напряжений равна нулю, значит .

4. Виды напряженного состояния.

В зависимости от количества отличных от нуля компонентов вектора напряжений различают одномерное, плоское ( ) и объемное напряженные состояния.

5. Напряжения на произвольной косой площадке.

Напряжение рассматривается при допущении, что размер элемента бесконечно мал, и напряжения действуют на плоскостях, проходящих через одну точку.

Зная напряжения на трех ортогональных плоскостях, пересекающихся в одной точке, можно определить напряжения на любой плоскости, проходящей через эту же точку.

Для этого выразим нормальное напряжение, действующее на произвольной площадке, как сумму составляющих действующей силы по трем осям: . По отношению к площадке эти составляющие будут действовать под углом ( ), поэтому выразим их через косинус этого угла:

С другой стороны, эти же составляющие можно выразить через напряжения на трех ортогональных поверхностях, через условия равновесия, где и т.д., а элементарная площадка на рассматриваемой произвольной плоскости:

После сокращения и подстановки выражения для в выражение получим:

где для краткости .

Касательное напряжение выражается из теоремы Пифагора:

6. Главные площадки и главные напряжения.

Главная площадка – площадка, на которой отсутствуют касательные напряжения. Нормальные напряжения на таких площадках называются главными.

Чтобы выразить величину главных напряжений , действующих на трех главных площадках, выразим через них составляющие вектора сил (все главные напряжения обозначим как ):

Подставим это выражение в условия равновесия, произведя преобразование :

Система имеет решение (т.е. находится в равновесии), если детерминант системы равен нулю:

Развернув определитель (методом треугольников), запишем:

Раскрывая скобки и вводя переменные , запишем характеристическое уравнение напряженного состояния (ХУНС) в сокращенном виде:

Три корня полученного выражения и есть главные напряжения. Для определения ориентации площадки найденное значение главного напряжения подставляется в уравнение равновесия, откуда с учетом теоремы косинусов определяем значения .