Системы линейных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в нормальной форме
(1.12)
Проинтегрировать
систему – значит определить функции
,
,…,
,
удовлетворяющие системе (1.12) и данным
начальным условиям
,
,…,
.
Одним из методов решения является метод сведения системы -го прядка к дифференциальному уравнению -го порядка.
Рассмотрим это на
примере при
.
Пример 13.
Проинтегрировать систему
при начальных условиях
,
.
Продифференцировав
первое уравнение системы по
,
будем иметь
.
Подставив выражения для
из исходной системы, получим
или
.
Из первого уравнения исходной системы выразим
. (1.13)
Будем иметь
или
.
Последнее уравнение
– это ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение
имеет кратные корни
.
Находя частное решение методом подбора
по виду правой части, получим
.
Найдем
.
Подставляя последнее выражение в (1.13),
вычислим
.
Окончательно, приводя подобные члены,
получим общее решение системы:
(1.14)
Для нахождения
частного решения подставим в систему
(1.14) начальные условия
,
,
и определим
и
:
,
откуда
,
.
Следовательно, частное решения исходной
системы дифференциальных уравнений
будет иметь вид
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Определение1. Дифференциальные уравнения -го порядка.
Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения -го порядка.
Определение2. Общее решение.
Методы решения различных дифференциальных уравнений высшего порядка.
Уравнение вида .
Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка.
а). Уравнение вида
б). Уравнение вида
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Пример 4. .
Пример 5. .
Пример 6. .
Пример 7.
Линейные неоднородные дифференциальные (ЛНДУ) уравнения высших порядков.
Пример 8. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) .
Пример 9. Найти общее решение ЛНДУ
Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения , , .
Пример 11. Найти общее решение ЛНДУ .
Пример 12. Найти общее решение дифференциального уравнения
Системы линейных дифференциальных уравнений.
Пример 13. Проинтегрировать систему при начальных условиях ,