Операции над событиями.

Операция сложения.

Над событиями можно осуществлять алгебраические операции, которые вводятся по определению.

Пусть А - первое, а В - второе событие. Суммой событий и (обозначается ) называется событие, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из этих событий. Аналогично суммой конечного числа событий называется событие ( ), состоящее в наступлении хотя бы одного из событий .

Пример 8. Пусть А ‑ это случилось в сентябре, В ‑ это случилось в октябре, С ‑ это случилось в ноябре. Тогда А+В+С ‑ это случилось осенью.

Пример 9. Пусть событие А – светит солнце, а событие В – дует ветер, тогда событие А+В состоит из следующих явлений погоды: или светит солнце, но нет ветра; или дует ветер, но не светит солнце; или и светит солнце и дует ветер.

Из определения операции сложения вытекает следующие свойства сложения:

1. А+В=В+А - коммутативное сложение.

2. А+(В+С)=(А+В)+С - ассоциативное сложение.

3. 

4. , А+А=А.

Операция умножения.

Произведением событий и (обозначается ) называется событие, состоящее в одновременном наступлении двух событий. Аналогично произведением конечного числа событий называется событие ( ), состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

Пример 10. Пусть А ‑ в аудиторию вошел студент, В ‑ в аудиторию вошел человек в очках. Тогда АВ ‑ в аудиторию вошел студент в очках.

Свойства произведений

1. АВ=ВА - коммутативное

2. А(ВС)=(АВ)С - ассоциативное

3. . Для несовместных событий и имеет место .

4. А(В+С)=АВ+АС

5. А+ВС=(А+В)(А+С)

6. 

7. 

Пример 11. Опыт состоит в извлечении шара из урны, в которой находятся шары трех цветов (черные, белые и красные). Рассмотрим события А={извлечен шар белого цвета}; В={извлечен шар красного цвета}; С={извлечен шар черного цвета}. Что представляют собой события: А+В, , АВ, АС+В?

Решение. А+В – это событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В. Следовательно, А+В – извлечен шар белого или красного цвета. Так как А+С – это шар белого или черного цвета, то ‑ это событие, противоположное событию А+С, т.е. шар ни белого и ни черного цвета, а значит он красного цвета. АВ – невозможное событие, поскольку шар одновременно не может быть белого и красного цвета. АС+В – это сумма невозможного события АС и события В, равная событию В, т.е. АС+В – извлечен шар красного цвета.

2. Классическое определение вероятности.

При исследовании большого количества одинаковых опытов обнаруживаются определенные закономерности, которые можно описать, используя понятие вероятности. Вероятность события характеризует возможность осуществления события в ходе опыта, т.е. под вероятностью события понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления этого события.

Существует несколько подходов к определению этого понятия.

Будем считать, что достоверное событие имеет n элементарных исходов и все эти элементарные исходы опыта равновозможные (имеют одинаковую возможность осуществиться).

Событие называется благоприятствующим событию , если наступление события влечет за собой наступление события .

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих событию , к числу всех элементарных исходов, т.е. .

Вероятность события обладает следующими свойствами

1. .

2. .

3. для любого события .

Пример 12. В урне находятся 10 одинаковых по размеру шаров, из которых 4 красных и 6 синих. Наудачу извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется синим?

Решение. Обозначим через А событие извлеченный шар синий. Имеем 10 равновозможных исходов из которых 6 благоприятствуют событию А. Следовательно, Р(А)= .

Пример 13. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались «решки»?

Решение. Обозначим А – на верхних сторонах обеих монет оказались «решки». В этом испытании 4 равновозможных элементарных исхода: (О;О); (О;Р); (Р;О); (Р;Р). Событию А благоприятствует один элементарный исход (Р;Р). Следовательно, Р(А)= .

Пример 14. На трех одинаковых карточках написаны буквы И, М, Р. Карточки тщательно перемешивают, наудачу извлекают три карточки и выкладывают их в порядке появления. Найти вероятность того, что составится слово МИР.

Решение. Обозначим через А событие, которое состоит в том, что в результате извлечения карточек получится слово МИР. У данного опыта шесть равновозможных исходов: “получено слово ИМР”, “получено слово ИРМ”, “получено слово МИР”, “получено слово МРИ”, “получено слово РМИ”, “получено слово РИМ”. Из них только одно событие, а именно А₃, благоприятствует событию А.Следовательно, число n=6, число m=1. Вычисляем Р(А)= .

Пример 15. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Какова вероятность того, что среди 5 взятых наудачу деталей стандартных будет 3?

Решение. А – «из 5 взятых наудачу деталей стандартных будет 3». Чтобы определить , надо воспользоваться формулой .

Опыт состоит в извлечении 5 деталей из 10 имеющихся, значит общее число n возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно выбрать 5 элементов из 10, т.е. .

Определим число m исходов, благоприятствующих событию А. Четыре стандартные детали из 8 стандартных можно извлечь способами. Оставшиеся детали выборки должны быть нестандартными, их будет 5–4=1, тогда 1 нестандартная деталь из имеющихся 10–8=2 может быть извлечена способами. Тогда, согласно правилу произведения, число m благоприятствующих исходов равно: .

Искомая вероятность равна отношению числа m исходов, благоприятствующих данному событию, к числу n всех элементарных исходов: