24. Центральная предельная теорема. Понятия о теореме Ляпунова и её значение. Пример.

Теорема. Если сл\в Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых сл\в, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распр, близкое к нормальному.

На практике для большинства сл\в выполняются условия теоремы Ляпунова.

25. Понятие двумерной (n-мерной) сл\вел. Примеры. Таблица её распределения. Условные распределения и их нахождение по таблице распределения.

Существуют сл\в, которые определяются двумя, тремя и т.д. числами. Такие сл\в называются двумерными, трехмерными и т.д. В зависимости от типа, входящих в систему сл\в, системы могут быть дискретными, непрерывными или смешанными, если в систему входят различные типы сл\в.

Рассм системы двух сл\в.

 Законом распределения системы сл\в называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы сл\в и вероятностями появления системы в этих областях. 

 Функцией распределения системы двух сл\в наз ф-я двух аргументов F(x, y), равная в-ти совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.

Свойства функции распределения системы двух сл\в: 

1) Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то ф-я распр системы стремится к ф-ии распр одной сл\в, соответствующей другому аргументу.

 2) Если оба аргумента стремятся  к бесконечности, то ф-я распр системы стремится к 1.

 3) При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности ф-я распр стремится к 0.

 4) Ф-я распр является неубывающей функцией по каждому аргументу.

 

5) В-ть попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:

Распределение одной сл\в, входящей в систему, найденное при условии, что другая сл\в приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

26. Ковариация и коэффициент корреляции (КК) сл\величин. Связь между некоррелированностью и независимостью сл\величин.

Коэффициентом корреляции сл\в Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин

КК является безразмерной величиной. КК независимых сл\в = нулю.

Абсолютная величина КК не превышает единицы. Сл\в называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля, и некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю. Если случайные величины независимы, то они и некоррелированы, но из некоррелированности нельзя сделать вывод о их независимости. Если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Часто по заданной плотности распределения системы сл\в можно определить зависимость или независимость этих величин. Наряду с КК степень зависимости сл\в можно охарактеризовать и другой величиной, которая называется коэффициентом ковариации. Коэффициент ковариации определяется формулой:

27. Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные математические ожидания и дисперсии.

Распределение одной сл\в, входящей в систему, найденное при условии, что другая сл\в приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Усл закон распр можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.

Усл плотность распределения вычисляется по формулам:

; . Усл плотность распр обладает всеми св-ми плотности распределения одной сл\в.

Условным м\о искретной сл\в Y при X = x (х – определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности.

Для непрерывных сл\в: , где f(y/x) – усл плотность сл\в Y при X=x.

Усл м\о M(Y/x)=f(x) является функцией от х и называется функцией регрессии Х на Y.

Пример. Найти условное математическое ожидание составляющей Y при X= x1=1 для дискретной двумерной сл\в, заданной таблицей:

 

Y	X
	x1=1	x2=3	x3=4	x4=8
y1=3	0,15	0,06	0,25	0,04
y2=6	0,30	0,10	0,03	0,07

;

Аналогично определяются усл дисперсия и условные моменты системы сл\в.

28. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) с док-вом для дискретной сл\величины. Пример.

Теорема. Если сл\в Х принимет только неотриц знач и имеет мат\о, то для любого положительного числа А верно неравенство: . Доказательство для дискретной сл\в Х: Расположим значения дискр сл\в Х в порядке возрастания, из кот часть значений будет не больше числаА, а др часть будут больше А, т.е

Запишем выражение для м\о M(X): , где

- в-ти т\ч сл\в Х примет значения . Отбрасывая первые k неотрицательных слагаемых получим: . Заменяя в этом неравенстве значения меньшим числом, получим неравенство: или . Сумма в-тей в левой части представляет сумму в-ей событий , т.е в-ть соб Х>А. Поэтому . Т.к события и противоположные, то заменяя выражением , придём к др форме неравенства Маркова: . Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным сл\в.

29. Неравенство Чебышева для средней арифметической сл\в. Теорема Чебышева с док-м и её значение и пример.

Теорема Чебышева(ср.арифм). Если дисперсии n независимых сл\в ограничены 1 и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n ср арифметическая сл\величин сходится по в-ти к средней арифм их м\ожиданий , т.е или *(над стрелкой Ро-R)

Докажем ф-лу и выясним смысл формулировки «сходимость по в-ти». По условию , , где С - постоянное число. Получим неравенство Чебышева в форме ( ) для ср арифм сл\в , те для . Найдём м\о M(X) и оценку дисперсии D(X): ;

(здесь использованы свойства м\о и дисперсии и т\ч сл\в независимы, а след-но, дисперсия их суммы = сумме дисперсий)

Запишем неравенство для сл\в :

30. Теорема Чебышева с выводом и его частные случаи для сл\в, распределённой по биномиальному закону, и для частности события.

Неравенство Чебышева. Теорема. Для люб сл\в имеющей м\о и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева: , где .

Применим неравенство Маркова в форме к сл\в , взяв в кач + числа . Получим: . Т.к неравенство равносильно неравенству , а есть дисперсия сл\в Х, то из неравенства получаем доказываемое . Учитывая, что события и противоположны, неравенство Чебышева можно записать и в форме: . Неравенство Чебышева применимо для любых сл\в. В форме оно устанавливает верхнюю границу, а в форме - нижнюю границу в-ти рассм-го события.

Запишем неравенство Чебышева в форме для некоторых сл\в:

А) для сл\в Х=m, имеющей биноминальный закон распр с м\о a=M(X)=np и дисперсией D(X)=npq.

;

Б) для частности m\n события в n независимых испытаниях, в каждом из кот оно может произойти с 1 и той же в-тью ; и имеющей дисперсию : .