4. Ранги матриц. Теорема Кронекера-Капелли. Однородная система линейных уравнений. Структура общего решения системы линейных уравнений.

Ранги матриц: Минором порядка S матрицы A называется det матрицы порядка S, который получается из матрицы А составлением из S строк и S столбцов с номерами i₁…i_s,j₁…j_s. В матрице A m X n минор порядка R называется базисом, если он отличен от нуля, а все миноры порядка R+1 равны 0 или их нет. Определение: Рангом матрицы называется порядок без минора.

Теорема Кронекера-Капелли: Система линейны уравнении совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Однородная система линейных уравнений: Это такая система уравнений, столбец свободных членов которой составляют нули. Если x₁ и x₂ – решения однородной системы, то их сумма и любая линейная комбинация тоже будет решением. Если x₁ – решение, то α x₁ – тоже решение.

Структура общего решения системы линейных уравнений: Пусть с x₁ по x_n-r(енто векторы) фундаментальная система решений приведенной системы линейных уравнений, тогда y₀(тоже вектор) какое-нибудь 1 решение непривиденной системы, тогда общее решение неоднородной системы, будет являться суммой y=y₀+C₁x₁+…C_n-rx_n-r (у и x – векторы).

5. Определение и аксиомы линейного пространства. Примеры линейных пространств. Элементарные следствия из аксиом линейного пространства. Линейная зависимость. Базис.

Определение и аксиомы линейного пространства: Множество L мы назовем линейным пространством, а его элементы – векторами, если

1) Задан закон (операция сложения), по которому любым двум элементам х и у из L сопоставляется элемент, называемый их суммой и обозначаемый х+у.

2) Задан закон (операция умножения на число), по которому элементу х из L и числу α сопоставляется элемент из L, называемый произведением х на α и обозначаемый αх.

3) Для любых элементов х, у и z из L для любых чисел α и β выполнены следующие требования(Или аксиомы):

1. х+у=у+х 2.(x+y)+z=x+(y+z) 3.Существует элемент 0, такой , что для каждого х из L, выполнено равенство х+0=х 4.Для каждого х существует элемент –х, такой что х+(-х)=0 5. α(х+у)= αх+ αу 6.( α+β)х= αх+βх 7. α(βх)=(αβ)х 8. Произведение любого элемента х на число 1, равно х, т.е. 1х=х

Примеры линейных пространств: Пусть L – множество многочленов от одной переменной, степень которых не выше заданного числа n.(далее проверка по всем аксиомам). Множество комплексных чисел по отношению к обычным операциям сложения и умножения на комплексное число представляют собой комплексное линейное пространство. Аналогично, множество вещественных чисел по отношению к обычным операциям будет вещественным линейным пространством. Существует линейное пространство, состоящее из 1 элемента. Такое пространство называется нулевым. Единственный элемент по необходимости оказывается 0 и самому себе противоположным.

Элементарные следствия из аксиом линейного пространства: Может быть только один нулевой вектор и для каждого вектора только один противоположный. Противоположным нулевому вектору является он сам, а для х - -х. Для любого вектора выполнено равенство 0х=0, т.к. 0х=0х+х-х=(1+0)х-х=0. Отсюда вытекает, что (-1)х=-х для любого х. (-1)х+х=(1-1)х=0х=0. Произведение любого числа на нулевой вектор, равно нулевому вектору.

Линейная зависимость: Система векторов называется линейно зависимой, если существует равная нулю нетривиальная линейная комбинация этих векторов. В противном случае -> линейно независимая.

Базис: Базисом в пространстве L мы назовем упорядоченную конечную систему векторов, если она а)линейно независима б) каждый вектор из L есть линейная комбинация векторов из этой системы.

6. Замена базиса. Формулы перехода к новому базису. Преобразование координат вектора при замене базиса.

Замена базиса: Матрицу, j-й столбец которой есть координатный столбец вектора е’₁ по базису е₁ мы назовем матрицей перехода от базиса е к базису е’. Пусть задан базис е. каждая матрица S с детерминантом не равным нулю, служит матрицей перехода от е к некоторому базису е’.

7. Линейное подпространство. Линейная оболочка. Линейные отображения и операторы. Матрицы линейных отображений. Координатная запись отображений. Изоморфизм. Изменение матрицы линейного отображения при замене базиса.

Линейное подпространство: Непустое множество L’ векторов в линейном пространстве L называется линейным подпространством, если а) сумма любых векторов из L’ принадлежит L’ б) произведение каждого вектора из L’ на любое число также принадлежит L’.

Линейная оболочка: Если выполняются условия: a) x и у принадлежат L’ и х= Σλ_ip_i(i=1 k) и y= Σμ_jq_j(j=1 m), где p и q – векторы из множества векторов P в линейном пространстве L, б) L’ – подпространство L и L’ – совокупность всевозможных линейных комбинаций, каждая из которых составлена из конечного числа векторов, принадлежащих P, то подпространство L’ – называется линейной оболочкой множества P.

Линейные отображения и операторы: Пусть L и L’ – два линейных пространства, оба вещественные или оба комплексные. Под отображением A пространства L в пространство L’ понимается закон, по которому каждому вектору из L сопоставлен единственный вектор из L’.

Отображение A:L->L’ называется линейным , если для любых векторов х и у из L и любого числа α выполнены равенства: А(х+у)=А(х)+А(у) и А(αх)= αА(х)

Матрицы линейных отображений: Матрицей линейного отображения A:L_n->L’_m в паре базисов e и f называется матрица, столбцы которой (в их естественном порядке ) – координатные столбцы векторов А(е₁)…А(е_n) по базису f. Ранг матрицы линейного отображения равен рангу этого отображения.

Изоморфизм: Взаимно однозначные линейные отображения линейных пространств называются изоморфизмами. Если существует изоморфизм L на L’, то пространства L и L’ называются изоморфными. (Только если размерности равны).

Изменение матрицы линейного отображения при замене базиса: A’=P^-1 AS. Где A:L_n->L’_m и А, определяется соответственной матрицей А, S и P матрицы перехода, связанные с матрицой A’, через базисы e f e’f’.