9. Пучок плоскостей — уравнение любой п., проходящей через линию пересечения двух плоскостей

где α и β — любые числа, не равные одновременно нулю.

Для того чтобы три плоскости, заданные своими общими уравнениями A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, A₃x+B₃y+C₃z+D₃=0 относительно ПДСК принадлежали одному пучку, собственному или несобственному, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы   был равен или двум, или единице. Теорема 2. Пусть относительно ПДСК заданы две плоскости π₁ и π₂ своими общими уравнениями: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0. Для того чтобы плоскость π₃, заданная относительно ПДСК своим общим уравнением A₃x+B₃y+C₃z+D₃=0, принадлежала пучку, образованному плоскостями π₁ и π₂, необходимо и достаточно, чтобы левая часть уравнения плоскости π₃ представлялась как линейная комбинация левых частей уравнений плоскостей π₁ и π₂.

10. Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где   — радиус-вектор некоторой фиксированной точки M₀, лежащей на прямой,   — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой,   — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где   — координаты некоторой фиксированной точки M₀, лежащей на прямой;   — координаты вектора,коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где   — координаты некоторой фиксированной точки M₀, лежащей на прямой;   — координаты вектора,коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

 и 

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

Угол между направляющими векторами и будет равен углу между прямыми. Угол между векторами находят при помощи скалярного произведения. cosA=(ab)/IaI*IbI

Угол между прямой и плоскостью находят по формуле: 

где (А;В;С;) координаты нормального вектора плоскости  (l;m;n;) координаты направляющего вектора прямой

 Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (9)

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     (10)

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.     (12)

 Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

            Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

11.

12. В пространстве расстояние от точки   до прямой, заданной параметрическим уравнением

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент t этой точки может быть найден по формуле

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

     В координатах