58. Цепи с распределенными параметрами.

Электрическими линиями с распределенными параметрами называют такие линии, в которых для одного и того же момента вре­мени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точки (сечения) линии к соседней точке, т. е. являются функ­циями времени и пространственной координаты.

Под магнитными линиями с распределенными параметрами по­нимают такие линии, магнитный поток и магнитное напряжение вдоль которых непрерывно меняются при переходе от одной точки линии к соседней. Эффект непрерывного изменения тока (потока) и электрического (магнитного) напряжения вдоль линии имеет место вследствие того, что линии обладают распределенными продольными и поперечными элементами.

Ha схеме рис. а изображен участок линии с распределенными

параметрами, через dx обозначен бесконечно малый элемент длины

линии. Сопротивления Z₁, Z₂, Z₃... называют продольными, в них

включены сопротивления и прямого и обратного проводов;

сопротивленния Z₄, Z₅ , Z₆,... называют поперечными. |

В результате утечки тока через сопротивление Z₄ тoк i₂ ≠ i₁.

Аналогично, ток i₃ ≠ i₄ и т. д. Напряжение между точками а и b не равна напряжению между точками с и d и т. д.

В электрических линиях с распределенными параметрами продольные сопротивления образованы активными сопротивлениями проводов линии и индуктивностями двух противостоящих друг другу участков линии длиной dx. Поперечные сопротивления состоят из сопротивлений утечки, появляющейся вследствие несовершейш стваизоляции между проводами линии, и емкостей, образованных противостоящими друг другу элементами (участками) линии В магнитных линиях с распределенными параметрами продольные сопротивления представляют собой магнитные сопротивления са­мих магнитных стержней, образующих магнитную линию а попе­речные сопротивления обусловлены утечкой магнитного потока по воздуху между противостоящими друг другу участками линии.

Линию с распределенными параметрами называют однородной, если равны друг другу все продольные сопротивления участков линии одинаковой длины и равны друг другу все поперечные сопро­тивления участков линии одинаковой длины.

Линию с распределенными параметрами называют неоднород­ной, если продольные сопротивления в ней различны или попереч­ные сопротивления неодинаковы. Кроме того, линии с распределенными параметрами можно под­разделить на две большие группы: нелинейные и линейные. В нелинейных линиях с распределенными параметрами про­дольные и (или) поперечные сопротивления являются функциями протекающих по ним токов, в линейных продольные и поперечные сопротивления не являются функциями протекающих через них токов.

59. Составление дифференциальных уравнения для однородной линии с распределенными параметрами.

Пусть R_o — продоль­ное активное сопротивление

единицы длины линии; L_o — индуктив­ность единицы

длины линии; С₀ — емкость единицы длины линии;

G₀ — поперечная проводимостьединицы длины линии.

Поперечная проводимость G₀ не является обратной

величиной продольного сопротивления R₀.

Разобьем линию на участки длиной dх (рис. 11.2),

где х — рас­стояние, отсчитываемое от начала линии.

На длине dх активное сопротивленис равно R₀dx, индуктивность — L₀dx, проводимость утечки — G₀dx и емкость — С_оdх. Обозначим ток в начале рассмат­риваемого участка линии через i, а напряжение между проводами линин — через u. И ток и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии х и времени t. Поэтому в даль­нейшем в уравнениях использованы частные производные от u и i по времени t и расстоянию х.

Если для некоторого момента времени t ток в начале рассмат­риваемого участка равен i,то в результате утечки через поперечный элемент ток в конце участка для того же момента времени равен: , где di / dx — скорость изменения тока в направлении х. Ско­рость, умноженная на расстояние dх, является приращением тока на пути dх.

Аналогично, если напряжение в начале участка u, то в конце участка для того же момента времени напряжение равно . Составим уравнение но второму закону Кирхгофа для замкну­того контура, образованного участком линии длиной dx, обойдя его по часовой стрелке: или , по первому закону Кирхгофа:

. Ток di равен сумме токов, проводящих через проводимость G₀dx и емкость

C₀dx: . Если пренебреч мелкими величинами, то:

, после преобразований: . Уравнения в рамочках являются основными дифференциальными уравнениями для линии с распределенными параметрами.

60. Решение уравнений линии с распределенными параметрами при установившемся синусоидальном процессе.

Пусть напряжение и ток в линии изменяются по синусоидальному закону во времени. Тогда: i = I_mSIN(ωt + φ_i ) = Ie^jωt, где I^* = I_me^jφi / √2 и u = U_mSIN(ωt + φ_i ) = Ue^jωt, где

U^* = U_me^jφi / √2. Комплексы U^* и I^* являются функциями расстояния х, но не являются функциями времени. Множитель e^jωt есть функция времени t, не зависящая от х.

Представление изображений тока и напряжения в виде произ­ведения двух множителей, из которых один является функцией только х, а другой — функцией только t, дает возможность перейти от уравнений в частных производных к уравнениям в простых. Так как и то: , где

Z₀ = R₀ + jωL₀, Y₀ = G₀ + jωC₀, тогда эту систему можно переписать в другой форме: . Если решать систему уравнений в рамочке относительно U^*, то получим: или, пользуясь прошлым уравнениям: . Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Его решение:

U^* = A₁^*e^γx + A₂e^-γx. Комплексные числа A₁ и A₂ есть постоянные интегрирования.

Комплексное число: γ = √Z₀Y₀ , называют постоянной распространения; его можно представить в виде: γ = a + jβ , где а — коэффициент затухания, характеризующий затухание па­дающей волны на единицу длины линий; β — коэффициент фазы, характеризующий изменение фазы падающей волны на единицу длины линии.

Ток I^* можно найти из уравнения: , где

Z₀ / γ = Z₀ / √Z₀Y₀ = √(Z₀/Y₀). Это соотношение имеет размерность сопротивления и обозначается Z_В и называется волновым сопротивлением, тогда: , где z_в –модуль, φ_В –аргумент волнового сопротивления Z_в, тогда ток I^* можно представить в виде: .

61. Формулы для определения комплексов напряжений в любой точке линии через комплексы напряжений и тока в начале линии.

Пусть Х –расстояние от начала координат до точки. Пусть в начале линии Х = 0, напряжение и ток: U₁^* и I₁^*. Составим уравнения для А₁^* и А₂^* через U₁^* и I₁^*.

U₁^* = A₂^* + A₁^*; I₁^*Z_В = A₂^* - A₁^*. A₁^* = 0,5(U₁^* - I₁^*Z_В ), A₂^* = 0,5(U₁^* + I₁^*Z_В ). Тогда:

.

62. Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжений и тока в конце линии.

Обозначим расстояние от текущей точки на линии

до конца линии у, а длину всей линии L, тогда

y = L – X. Пусть известны напряжение и ток в конце

линии U2 и I₂. Подста­вим в U^* = A₁^*e^γx + A₂e^-γx и

значения Х = L, U^* = U₂^*, I^* = I₂^* и составим два уравнения для определения постоянных A₁^* и A₂^*. U₂^* = A₂^*e^-γt + A₁^*e^γt и I₂^*Z_В = A₂^*e^-γt - A₁^*e^γt . Из этих уравнений следует: A₁^* = 0,5(U₂^* - I₂^*Z_в )e^-γt = A₁e^jψ0 и A₂^* = 0,5(U₂^* - I₂^*Z_в )e^γt = A₂e^jψп. Тогда:

. Зная с помощью этих формул можно найти комплексы напряжения и тока в точке, находящейся на расстоянии у от конца линии.

63. Падающие и отраженные волны в линии.

Так как γ = a + jβ , то можно произвести замену в формулах

A₁^* = 0,5(U₂^* - I₂^*Z_в )e^-γt = A₁e^jψ0 и A₂^* = 0,5(U₂^* - I₂^*Z_в )e^γt = A₂e^jψп. Тогда получим:

U^* = A₁e^axe^{j(ψ0 + βx )} + A₂e^-axe^{j(ψп - βx )}. То же самое произвести и с формулой: , тогда: I^* = -( A₁ / z_B )*e^axe^{j(ψ0 + βx – ψB )} + ( A₂ / z_B )*e^axe^{j(ψп - βx – ψB )}.

Если произвести некоторое преобразование, то получится:

u = A₁√2*e^axSIN( ωt + ψ₀ + βx ) + A₂√2*e^-axSIN( ωt + ψ₀ - βx ) , а также

i = (A₁√2 / z_в )*e^axSIN( ωt + φ₀ + βx – ψ_B ) + (A₂√2 / z_B )*e^-axSIN( ωt + ψ_п - βx – ψ_В)

Падающей электромагнитной волной называют процесс пере­мещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от источника энергии к приемнику, т. е. в нашем случае в направле­нии увеличения координаты х. Электромагнитное состояние опре­деляется совокупностью электрического и магнитного полей, обус­ловливающих друг друга. Падающая волна, распространясь от источника энергии к приемнику, несет энергию, заключенную в ее электрическом и магнитном полях.

Отраженной электромагнитной волной называют процесс пере­мещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от приемника к источнику энергии, т. е. в нашем случае в сторону уменьшения координаты х.

Падающая электромагнитная волна образована падающей волной напряжения (второе слагаемое формулы 1 в рамочке ) и падающей волной тока ( второе слагаемое формулы 2 в рамочке ). Отраженная электромагнитная волна образована отраженной волной напряжения ( первое слагаемое формулы 1 в рамочке ) и отраженной волной тока ( первое слагаемое формулы 2 в рамочке ).

Знак минус у отраженной волны тока свидетельствует о том, что поток энергии, который несет с собой отраженная электромагнит­ная волна, движется в обратном направлении по сравнению с пото­ком энергии, который несет с собой падающая волна.

Каждая компонента падающей волны (волны напряжения или волны тока) представляет собой синусоидальное колебание, амп­литуда которого уменьшается по мере роста Х, а аргумент является функцией времени и координаты Х. Каждая компонента отраженной электромагнитной волны за­тухает по мере продвижения волны от конца линии к началу. Физически эффект уменьшения амплитуд падающей и отраженной волн по мере их продвижения по линии объясняется наличием потерь в линии.

64. Коэффициент отражения.

Отношение напряжения отра­женной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии называют коэффициентом отражения по напряжению и обозначают К_u. Он рассчитывается из формулы: . При согласованной нагрузке К_u = 0, при холостом ходе К_u = 1. Коэффициент отражения по току K_i = -K_u .

65. Фазовая скорость.

Фазовой скоростью u_ф называют ско­рость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблю­дать одну и ту же фазу колебания, или иначе: фазовая скорость — это скорость перемещения по линии неизменного фазового состоя­ния. Если фаза падающей волны напряжения неизменна, то: ωt + ψ_п – βx = CONST. Возьмем производную по времени от обеих частей последнего равенства и получим: u_ф = dx / dt = ω / β.

Пример. Найти фазовую скорость для воздушной двухпроводной линии с

малыми потерями. Решение. Из предыдущих формул β = ω√L₀C₀. Поэтому:

u_ф = dx / dt = ω / β = 1 / √L₀C₀. Индуктивность единицы длины двухпроводной воздушной линии: L₀ = ( μ₀ / π )*Ln( d / r ). Емкость единицы длины двухпроводной линии рассчитывается по формуле: C₀ = πε₀ / Ln ( d / r ), тогда фозовую скорость можно определить по формуле: u_ф = 1 / √μ₀ε₀ = 1 / √(1,256*10^-6 Гн/м * 8,86*10^-12 Ф/м) ≈ 3*10⁸ м/с

66. Линия без искажений.

Линия без искажений представ­ляет собой линию, вдоль которой волны всех частот распространя­ются с одинаковой фазовой скоростью и затухают в равной степени.

При движении электромагнитной волны по линии без искаже­ний волны напряжения и тока уменьшаются по амплитуде, но фор­мы волн напряжения в конце и начале линии подобны; точно так же подобны формы волн тока в начале и конце линии.

Неискажающие линии находят применение в телефонии. При телефонном разговоре по таким линиям не искажается тембр голо­са, т. е. не искажается спектральный состав голоса.

Для того чтобы линия была неискажающей, коэффициент зату­хания а и фазовая скорость u_ф не должны зависеть от частоты; а и u_ф не зависят от частоты, если между параметрами линии имеет место следующее соотношение: R₀ / L₀ = G₀ / C₀. Обозначим:

R₀ / L₀ = G₀ / C₀ = k, тогда должны выполняться следующие формулы:

Z₀ = R₀ + jωL₀ = L₀( k + jω ); Y₀ = G₀ + jωC₀ = C₀( k + jω ); γ = ( k + jω ) √L₀C₀.

В реальных линиях передачи сигналов соотношение R₀ / L₀ = G₀ / C₀ обычно не соблюдается, так как L₀ < R₀C₀ / G₀^* . Для того чтобы было достигнуто это соотношение, принимают меры по увеличению L₀. Практически устранение частотных искажений сигнала во всем передаточном тракте часто достигают не за счет использования линий без искажения, а путем включения в тракт специальных корректирующих четырехполюсников.

67. Согласованная нагрузка.

Линия с распределенными па­раметрами, как

правило, служит в качестве промежуточного звена

между источником энергии (сигнала) и нагрузкой.

Обозначим сопротивление нагрузки Z₂

(Z₂ = U₂^* / I₂^* ) (рис. а). Если Z₂ ≠ Z₁ , то падающая

волна частично пройдет в нагрузку, частично отразится от нее (возникает отраженная волна). При Z₂ = Zв — такую нагрузку называют согласованной — отраженная волна отсутствует ( отраженная волна отсутствует, так как А₁ = 0 ). В линиях передачи информации кроме согласования Z₂ с Z_в согласовывают также Z_В с внутренним сопротивлением источника сигнала Z_H. При Z_Н, немного не равном Z_B, кроме истинного сигнала через некоторое время после него может появиться ложный сигнал типа эха; наличие последнего затруднит обработку получаемой ин­формации.

68. Определение напряжений и тока при согласованной нагрузке.

Чтобы получить формулы для определения напряжения и тока в любой точке, удаленной от конца линии на расстояние у, вместо Z_B подставим Z₂, заменим I₂^*Z₂ на U₂^* и U₂^* / Z₂ на I₂^*. Получим: . В начале линии y = L, тогда: , где U₂— модуль, а φ_u2 — аргумент комплекса U₂^* ; I₂—модуль, а φ_i2 — аргумент комплекса I₂^*.

График зависимости действующего значения напряжения U от расстояния у для линии с потерями при согласованной нагрузке иллюстрирует кривая 1 на рис б, при несогласованной — напри­мер кривая 2 на рис. б.

69. КПД линии передачи при согласованной нагрузке.

Коэффициент полезного действия линии передачи равен отношению активной мощности в конце линии Р₂ к активной мощности в начале линии Р₁ :

Р₂ = U₂I₂cos( φ_U2 – φ_I2 ) = U₂I₂cosφ_B, где φ_B — аргумент волнового сопротивления Z_B.

При согласованной нагрузке угол между U₁^* и I₁^* также равен φ_B, поэтому:

Р₁ = U₁I₁cosφ_B = U₂I₂e^2aLCOSφ_B. Тогда: η = P₂ / P₁ = e^-2aL.

70. Входное сопротивление нагруженной линии.

На самом верхнем рисунке изображена схема, состоящая из источника напряжения U₁^* , линии с распределенными параметрами длиной L и нагрузки Z₂. Входное сопротивление Z_вх = U₁^* / I₁^* . В формулах вместо у подставим L и заменим U₂^* на I₂^*Z₂ . Получим: , или

Если нагрузка согласована (т. е. Z₂ = Z_B), то из формулы следует, что входное сопротивление равно волновому: Z_BX = Z_В.

71. Определение напряжения и тока в линии без потерь.

Строго говоря, линий беа потерь не существует. Однако можно создать линию с очень малыми потерями (с очень малыми R₀ и G₀ по сравнению с ωL₀ и ωС₀ соответственно) и распространить на нее теорию линий без потерь. Если R₀ = G₀ = 0, то: γ = a + jβ = jω√C₀L₀, т. е. коэффициент затухания а=0, коэффициент фазы β = ω√C₀L₀. При этом волновое сопротивление Z_в = √L₀ / C₀ является чисто активным.

Для определения напряжения U^* и тока I^* в любой точке линии обратимся к формулам: . В нашем случае: γy = jβy, тогда наши формулы можно преобразовать: .

72. Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе.

Воспользуемся старыми формулами: При холостом ходе I₂ = 0, поэтому:

Исследуем характер изменения Z_ВХХ при изменении

расстояния у от конца линии до текущей точки на ней и

проиллюстрируем это на рис. а. В интервале значений βу

от 0 до π/2 tg βy изменяется от 0 до ∞, поэтому Z_ВХХ имеет

емкостный характер ( множитель -J ) и по модулю изменяется от

∞ до 0. Расположение кривой выше оси абсцисс соответствует

индуктивному характеру реактивного сопротивления линии х,

ниже оси — емкостному. В интервале значений βу

от π/2 до π tgβy отрицателен и изменяется от -∞ до 0; поэтому Z_ВХХ изменяется по модулю от 0 до ∞ и имеет индуктивный характер ( множитель +J ) и т. д. Таким образом, изменяя длину отрезка линии без потерь, можно имитировать емкостное и индуктивное сопротивления любой величины. Практически это свойство используют при высокой частоте в различных радиотехнических установках.

73. Входное сопротивление линии без потерь при коротком замыкании на конце.

При коротком замыкании на конце линии U₂ = 0 и из предыдущих формул следует, что входное сопротивление: Z_BXX = jZ_Btgβγ = jtgβγ*√( L₀ / C₀ ) . Будем изменять длину отрезка линии у и исследуем характер входного сопротивления.

В интервале значений βу от 0 до π/2 tgβy положителен и изме­няется от 0 до ∞, следовательно, в этом интервале входное сопро­тивление имеет индуктивный характер и по модулю изменяется от Одо ∞ (рис. б ).

В интервале βγ от π/2 до π входное сопротивление имеет емко­стный характер и изменяется по модулю от ∞ до 0 (в точке βу = π/2 tgβy скачком изменяется от +∞ до -∞ ).

Таким образом, изменяя длину отрезка короткозамкнутой на конце линии, также можно создавать различные по величине индук­тивные и емкостные сопротивления. Отрезок короткозамкнутой на конце линии без потерь длиной в четверть длины волны теоретически имеет входное сопротивление, равное бесконечности. Это позво­ляет применять его при подвеске проводов в качестве изолятора.

74. Определение стоячих электромагнитных волн.

В линиях без потерь при холостом ходе, коротком замыкании, а также при чисто реактивных нагрузках возникают стоячие электромагнитные волны.

Стоячая электромагнитная волна образована стоячими волна­ми напряжения и тока. Математически такие волны описываются произведением двух периодических (в нашем случае — тригонометрических ) функций. Одна из них — функция координаты текущей точки на линии (в нашем случае βy), другая — функция времени ( ωt ). Стоячие волны напряжения и тока всегда сдвинуты по отношению друг к другу в пространстве и во времени. Сдвиг во времени между стоячими волнами напряжения и тока равен 90°, сдвиг в пространстве — четверти длины волны.

Точки линии, где периодическая функция координаты проходит через нуль, называют узлами, а точки линии, в которых периодиче­ская функция координаты принимает максимальные значения, — пучностями.

При возникновении стоячих волн электромагнитная энергия от начала к концу линии не передается. Однако на каждом отрезке линии, равном четверти длины волны, запасена некоторая электро­магнитная энергия. Эта энергия периодически переходит из одного вида (энергии электрического поля) в другой (энергию магнитного поля). В моменты времени, когда ток вдоль всей линии оказывается равным нулю, а напряжение достигает максимального значения, вся энергия переходит в энергию электрического поля. В моменты времени, когда напряжение вдоль всей линии равно нулю, а ток достигает максимального значения, вся энергия пере­ходит в энерию магнитного поля.

75. Четвертьволновый трансформатор.

Для согласования линии без потерь, имеющей

волновое сопротивление Z_B1, с активной нагрузкой

Z_H = R_H ≠ Z_B1 применяют четвертьволновый

трансфор­матор (ЧВТ). Он представляет собой

отрезок линии без потерь длиной в четверть волны λ/4 с волновым сопротивлением Z_B2. Со­противление Z_B2 рассчитывают так, чтобы входное сопротивление в схеме на рисисунке по отношению к точкам а и b оказалось равным Z_B1 (при этом на линии с Z_B1 практически установится режим бегу­щей волны ): . Отсюда:

Z_B2 = √R_HZ_B1 . На линии с Z_B2 есть и падающие и отраженные волны.

Если нагрузочное сопротивление не чисто резистивное (Z_H = R_H + jX_H ), то для согласования Z_B1 с Z_H на заданной частоте к зажимам ab на рисунке кроме четвертьволновой линии подключа­ют еще отрезок короткозамкнутой линии, длину которой берут такой, чтобы суммарная входная проводимость четвертьволновой и дополнительной короткозамкнутой линий равнялась 1 / Z_В1.

76. Бегущие, стоячие и смешанные волны в линии без потерь. Коэффициенты бегущей и стоячей волн.

При согласованной нагрузке на линии имеются только бегущие

волны напряжения ( U^* = U₂^*e^jβy ) и тока ( I^* = I₂^*e^jβy ). Так как при

любом у | e^jβy | = 1, то для бегущей волны действующее значение

напряжения и тока вдоль линии неизменно (рис. а). При

возникновении на линии стоячих волн действующее значение

напряжения на линии изменя­ется в функции расстояния у

пропорционально | cosβy | при корот­ком замыкании.

При несогласованной активной нагрузке на линии возникает

смешанная волна — комбинация бегущей и стоячей волн. Если

обозначить m = Z_B / Z_H, то:

U^* = U₂^*cosβy + jmU₂^*sinβy = U₂^*cosβy + jU₂^*sinβy + jU₂^*( m -1 )sinβy или в более красивом виде: U^* = U₂^*e^jβy + j( m -1 )U₂^*sinβy . Первое слагаемое определяет бегущую, второе — стоячую волны. Распределение напряжения на линии в функции расстояния у рассчитывается по формуле:

При m > 1 напряжение на конце линии минимально, а через четверть длины волны

βy = π/2 максимально (рис. б). При m < 1 напряжение на конце линии максимально, а через βу = π/2 минимально (рис. в).

Коэффициентом бегущей волны называют отношение миниму­ма напряжения смешанной волны к ее максимуму: Коэффициент стоячей волны называется величина обратно пропорциональная коэффициенту бегущей волны.

77. Определение периодических несинусоидальных токов и напряжений в цепях.

Периодическими несинусоидальными токами и напряжени­ями называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону.

U(t) = U₀ + U_m1sin( ωt + ψ₁ ) + U_m2sin( 2ωt + ψ₂ ) + U_m3sin( 3ωt + ψ₃ )….

I(t) = I₀ + I_m1sin( ωt + ψ₁ ) + I_m2sin( 2ωt + ψ₂ ) + I_m3sin( 3ωt + ψ₃ )….

Они возникают при четырех различных режимах работы элект­рических цепей (и при сочетаниях этих режимов):

1) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС (несинусоидальный ток), а все элементы цепи — резистивные, индуктивные и емкостные — линейны, т. е. от тока не зависят;

2) если источник ЭДС (источник тока) дает синусоидальную ЭДС (синусоидальный ток), но один или несколько элементов цепи нелинейны;

3) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную ЭДС (несинусоидальный ток), а в состав электрической цепи входят один или несколько нелинейных элементов;

4) если источник ЭДС (тока) дает постоянную или синусоидаль­ную ЭДС (ток), а один или несколько элементов цепи периодически изменяются во времени.

78. Действующее значение несинусоидального тока и напряжения.

Дествующее значение несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей тока и действующих значений отдельных гармоник. От углов сдвига фаз действующее значение тока не зависит.

Дествующее значение несинусоидального напряжения равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей напряжения и действующих значений отдельных гармоник. В формульном виде: , , где

U₁ = U_m1 / √2, U₂ = U_m2 / √2, I₁ = I_m1 / √2, I₂ = I_m2 / √2.

Пример. На входе у двухполюсника

u = 100 + 80sin( ωt + 30⁰ ) + 60sin( 3ωt + 20⁰ ) + 50sin( 5ωt + 45⁰ ) B,

i = 33,3 + 17,87sin( ωt - 18⁰ ) + 5,59sin( 5ωt + 120⁰ ) A. Найти их действующие значения.

Решение. и

79. Активная и полная мощности несинусоидального тока.

Активной мощностью Р несинусоидального тока называется среднее значение мгновенной мощности за период первой гармоники: . Она также вычисляется:

P = U₀I₀ + U₁I₁cosφ₁ + U₂I₂cosφ₂ + U₃I₃cosφ₃ + …. Таким образом активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник.

Полная мощность S равна произведению действующего значения несинусоидального напряжения на действующее значение несинусоидального тока: S = UI.

Единого определения реактивной мощности нет! Формулы для ее расчета то же нет!

Пример. Определить S и P, если: u = 25,9sin( ωt - 11⁰46^/ ) + 6sin( 3ωt + 53⁰50^/ ) B,

i = 3sin( ωt - 40⁰ ) + 0,9*√2sin( 3ωt + 125⁰ ) A. Решение. U₁ = 25,9 / √2 = 18,3 B,

U₃ = 6 / √2 = 4,26 B, I₁ = 2,13 A, I₃ = 0,9 A, φ₁ = 11⁰40^/ - ( -40⁰ ) = 28⁰30^/, φ₃ = 71⁰10^/.

P = 18,3*2,13cos28⁰20^/ + 4,26*0,9cos71⁰10^/ = 35,5 BT

U = √U₁² + U₃² = 18,55 B, I = √2,13² + 0,9² = 2,13 A

S = UI = 18,55*2,31 = 42,8 BA.