Мера, интеграл Лебега

П(10.1) Основы теории меры.

Понятие меры является обобщения понятия: 1)ℓ(Δ) –Δ; 2)S(F)-F; 3)V(G)-G;

Рассмотрим систему L, на множестве определяется одним из этих неравенств: a≤x≤b; a<x≤b, c≤y≤d; c<y≤d; a≤z<b; a<x<b; c≤y<d; c<y<d.

Определение: Множество из этой системы мы называем прямоугольниками.

Определение: Для каждого прямоугольника определим его меру в соответствии с понятием площади: а)m(ø)=0, m-мера. б)m(a,b,c,d)=(b-a)·(d-c)

Каждому прямоугольнику PϵL сопоставим число m(P) т.е. его меры с выполнением свойств:

1)Мера m(P)ϵ ;

2)Мера m(P) аддитивна, т.е. если P= при l≠k, тогда m(P)=

Мы хотим рассмотреть меру на более широкий класс множеств с соблюдением свойств 1 и 2.

Определение: Множество плоское, называется элементарным, если его можно представить, как конечное объединение попарно пересекающихся прямоугольников.

Т(10.1)Объединение, пересечение, разность и симметричная разность двух элементарных множеств также являются элементарными множествами.

Определение: Симметричная разность АΔВ=(А⋃В)≠(А⋂В), если элементарное множество А т.е. А= то определим его меру так: m’(A)=

Т(10.2) Интеграл Лебега

Понятие интеграла Римана из математического анализа применимо только к непрерывным функциям или функциям у которых не слишком много точек разрыва. В связи с этим возникло обобщение называемое интегралом Лебега, применимое к более широкому классу функций.

Определение: Функция f(x) определённая на некотором пространстве Х, хϵХ с заданной на нём мерой называется простой, если она измерима и принимает не более, чем счётное число значений.

Т(10.10) Функция f(x) принимающая не более чем счётное число различных значений у1……уn измеримо в том и только в том случае, если все множества А_n={x:f(x)=у_n} измеримы.

Т(10.11) Для измеримости функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых измеримых функций.

Пусть f некоторая простая функция принимаемая значения у1….уn , у_i≠y_j (i≠j) и пусть А некоторое измеримое полу множество х. Определим интеграл от f по множеству А правилом:

(10.6)

Определение: Простая функция f называется интегрируемой или суммируемой по мере и на множестве А, если ряд (10.6) абсолютно сходится. Если f – интегрируема, то сумма ряда (10.6) называется интегралом от f по множеству А.

Свойства:

1. Интеграл суммы равен сумме интегралов, т.е. , причём из существования интеграла в правой части следует существование интеграла в левой.

2. Для любой к=const: , причём из существования интеграла в правой части следует существование интеграла в левой части.

3. Ограниченная на множестве А простая функция f интегрируема на А, если:

f:|f(x)|≤MxϵA ⇒| |≤M

Определение: Назовём функцию f интегрируемой на множестве {A}, если существует последовательность простых интегрируемых на А функций {f_n}, сходящейся равномерно к f, предел: I= (10.7)

Свойства интеграла Лебега:

1. (10.8)

2. Для любой к=const: , причём из существования интеграла в правой части следует существование интеграла в левой части.

3. Аддитивность (10.10) причём из существования интеграла в правой части следует существование интеграла в левой.

4. Ограниченная на множестве А функция f интегрируема на А.

5. Монотонность. Если f(x) то (10.11)

6. Если , то

7. Если функция φ интегрируема на множестве А и почти всюду |f(x)|≤ φ(х), то f также интегрируема на А.

8. Интегралы I1= I2= (10.12) существуют или не существуют одновременно на А .

Т(10.12) Если А=⋃Аn, Ai⋂Aj=ø, при i≠j, то интеграл (10.13), причём из существования интеграла в левой части вытекает существование интеграла в и абсолютная сходимость ряда в правой части.

П(10.3) Интеграл Стилтьеса.

Пусть задана на прямой некоторая монотонно неубывающая функция F, которую будем считать неприрывной слева функцией. Мерой всех отрезков, интервалов и полу интервалов определим следующим образом:

m( )=F( )-F( )

m[ =F( )-F( )

m( =F( )- F( )

m[ = F( )- F( )

Также как мы строили Лебегову меру мы можем продолжить эту меру до σ-аддитивной меры на измеримых множествах.

Определение: Такую меру _f называют мерой Лебега-Стилтьеса, функция F называется производящей функцией этой меры.

Определение: интеграл называется интегралом Лебега-Стилтьеса.

Ряд и интеграл Фурье.

П(11.1) Ряд Фурье

Рассмотрим пространство L2[- ] функций с интегрируемым квадратом на отрезке

[- ] с обычной мерой Лебега на этом отрезке. В этом пространстве функций:1, cosnx, sinx, n=1,2,…(11.1) эти функции образуют полную ортогональную систему называется тригонометрической. Ортогональность определяется прямым вычислением.

Пусть f функция на отрезке [- ] её коэффициент Фурье при 1, cosnx, sinx, обозначим через а₀/2, а_n, b_n В соответствии с общими формулами имеет вид: а₀/2=1/2 а₀=1/

а_n=1/ b_n=1/ i (11.2)

Ряд Фурье имеет вид:

а₀/2+

И для любой функции f сходится в среднеквадратичном именно к ней. В связи с применением в мат.физике важно установить условие при котором ряд Фурье сходится к f в точке или даже равномерно.

Т(11.1) Если f суммируемая функция и при фиксированном х и некотором σ>0

существует, то частичные суммы: Sn= а₀/2+ ряда Фурье сходится в этой точке Sn(x)→f(x) это условие, называется условием Дише. Оно выполняется, если в точке х функция f неприрывна и имеет конечную производную.

Определение: Функция f задана на некотором отрезке [a,b] называется абсолютно неприрывной на нём, если на любом отрезке любое существует σ( )>0: любое ( ), к=1,2….n попарно не пересек. ( )⋂ ( )=ø при i≠j < σ следует

Т(11.2) Если функция f с периодом 2п абсолютна неприрывна, а её производная f’ϵL2 [- ] то ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на всей прямой.

Т(11.3) Если на некотором множестве Еϵ[- ] суммируемая функция f ограничена, а условие Диши выполняется на Е равномерно т.е. любое существует σ( )>0 , любое хϵЕ

то ряд Фурье функции f сходится равномерно на Е.

Пусть Sk(x)= а₀/2+ частичная сумма Фурье ряда S

σ_n(x)= (11.3)

Определение: σ_n(x) среднее арифметическое сумм Sk, называемых суммами Фейера функции f.

Т(11.4) (Фейер)

Если f неприрывная функция с периодом 2п, то последовательность { σ_n } и её сумм Фейера сходится равномерно на всей числовой оси.

п(11.2) Интеграл Фурье