13. Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция f(x,y) называется однородной степени k, если для любого числа л (лямбда) верно f(лх,лу)=л^k *(x,y).

f(x,y)=x^3+y^3; f(лх,лу)=(лх)^3 + (лу)^3=л^3(x^3+y^3)=л^3 f(x,y)

f(лх,лу)=[(лх+лу)/(лх-лу)]=f(x,y)*л^0 – однородной степени 0 (ноль)

Определение. Функцией однородной степени 0 называется однородной (???)

Замечание. f(x,y) – однородное уравнение => f(x,y)=f(y/x); (x+y)/(y-x)=(1+y/x)/(1-y/x)

Определение. Дифференциальными уравнениями вида y`=f(x,y), где f(x,y)-однородная функция, называются однородными <=> y`=f(y/x)

Определение. Дифференциальные уравнения вида P9x,y)dx+Q9x,y)dy=0 называются однородными, если P(x,y) и Q(x,y) – однородные одинаковой степени.

Лемма. Определение 1 эквивалентно Определению 2.

Доказательство. y`=-P(x,y)/Q9x,y) – однородная функция.

Метод решения. y`=f(y/x)

Замена u=y/x, y=ux.

y`=(ux)`=u`x+ux` => u`x=f(u)-u; du/dx *x = f(u)-u; S du/f(u)+u = S dx/x

Уравнения, сводящиеся к однородным уравнениям.

y`=f(a1x+b1y+c1/a2x+b2y+c2)

Сделаем замену x=x1-a(альфа), y=y1-b(бета)

a1(x1-a(альфа))+b1(y1-b(бета))+c1

a2(x2-a(альфа))+b2(y2-b(бета))+c1

Выберем a,b (альфа и бета) Далее: А-альфа, В-бета

{Аа1+Вb1-c1=0 => 1^0 | a1 b1 |

{Aa2+Bb2-c2=0 => | a2 b2 | <>0 => нашли А, В и сделали замену.

y`1=f(a1x1+b1y/a2x2+b2y) – однородное дифференциальное уравнение.

2^0: | a1 b1 |

| a2 b2 | = 0 => a1=лa2, b1=лb2, с1=лс1; f(a1x+b1y+c1/a2x+b2y+c2)=f(?)

3^0: a1=ла2, b1=лb2, c1<>лс2; f(a1x+b1y+c1/a2x+b2y+c2) => z=a2x+b2y => дифференциальное уравнение с разделяющейся переменной.

17. Дифференциальные уравнения старшего порядка.

Определение. F(x,y,y`,…,y^(n))=0 – дифференциальное уравнение n-ного порядка

y=y(x); y^(n)=f(x,y,…,y^(n-))

Задача Коши: y=y(x) - ? y^(n)=f(x,y,y`,…,y^(n-1))

начальное условие {y(x0)=y0; y`(x0)=y1; y^(n) (x0)=yn-1

Теорема: Пусть f(x,y,…,y^(n-1)) непрерывна в некоторой окрестности точки (x0,y0,y,…,yn-1) и дифференцируема по y,y`,…,y^(n-1) => решение задачи Коши существует и оно единственное.

15. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение: Полный дифференциал функции F(x,y)

dF=Fxdx+Fydy

xy^2 dx+(y+x)dy=0

(Обозначения: & - изогнутая d)

Лемма. Форма (выражение) Pdx+Qdy; P=P(x,y); Q=Q(x,y) является полным дифференциалом некоторой функции <=> &P/&y=&Q/&x

Доказательство. Предположим, что Pdx+Qdy – полный дифференциал.

Докажем, что &P/&y=&Q/&x.

dF=F`x dx + F`y dy = Pdx + Qdy, т.е. P=Fx

P=Fx

Q=Fy => &P/&y=F``xy => при непрерывности

&P/&y=&Q/&x

Определение. Дифференциальное уравнение вида P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если &P/&y=&Q/&x

Метод решения: Pdx + Qdy = 0 уравнение в полных дифференциалах

1. F - ? dF=Pdx + Qdy

{(1)F`x=P; (2)F`y=Q => F= S P(x,y)dx=Fo+Ф(у)

2. из (2) (Fo+Ф(у))`y=Q – решаем относительно y`

3. т.к. dF=0, то F=с, Fo+Ф(у)=с

16. Интегрирующий множитель

Определение. Функция м(мю)=м(х,у) называется интегрирующим множителем. если мPdx+мQdy=0 является в полных дифференциалах.

Замечание. Интегральный множитель можно подобрать из уравнения &(мР)/&y=&(мQ)/&x