2. Приклади розв’язання стереометричних задач координатно-векторним методом

Задача 1

Основою піраміди SAΒCD є паралелограм. Проведено площину, що перетинає бічні ребра SA, SΒ, SC, SD піраміди відповідно в точках K, L, M, N таких, що Знайти залежність між числами k, l, m, n.

Розв’язання.

За умовою належності чотирьох точок M, N, K і L, маємо:

Представимо кожен із векторів, що входять в рівність у вигляді різниці двох векторів зі спільним початком в точці S. Отримаємо:

.

,

де γ=1-α-β.

Враховуючи умову задачі і попередню рівність перепишемо так

.

Позначимо через точку О перетин діагоналей паралелограма AΒCD. Так як О – середина діагоналей AC і ΒD, то

2 .

Таким чином, вектор виражаємо двома способами через не компланарні вектори , і .

В силу єдиності розкладу вектора, отримуємо числові рівності:

,

Звідси, враховуючи, що , знаходим:

Наведемо числовий приклад. Якщо площина проходить через вершину A тетраедра AΒCD і перетинає його ребра SΒ і SD в точках L і N таких, що , , то , , , значить , тобто .

Задача 2 (побудова і обчислення довжини спільного перпендикуляра)

В кубі ABCDA1B1C1D1 з ребром знайдіть відстань між прямими AB1 і BC1.

Розв’язання.

Виберемо векторний базис , де , Нехай P і Q – деякі точки відповідно прямих BC1 і AB1. Нехай

Тоді,

Знайдемо такі числа x і y, щоб вектор був ортогональним векторам і , і т. д., щоб мали місце рівності:

Беручи до уваги, що та, що отримуємо систему:

,

Точки P і Q шуканого спільного перпендикуляра будуються відповідно з отриманих рівностей і А так як то

Умова компланарності трьох векторів.

Задача 3

На діагоналях АВ1 і ВС1 граней AA1B1B і ВВ1С1С паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 взяті точки відповідно Н і M так, що відрізки MН і A1C паралельні. Знайдіть відношення довжин цих відрізків.

Розв’язання.

Введемо вектори:

Трійку , некомпланарних векторів приймемо за базис і розкладемо вектори за векторами цього базису.Маємо:

Оскільки точка Н лежить на діагоналі АВ1, то вектори колінеарні, тому існує таке число х, що Аналогічно, в силу колінеарності векторів існує таке число у, що

За правилом ламаної знаходимо:

За умовою MН ׀׀A1C, значить, існує таке число t, що тобто виконується рівність:

Внаслідок некомпланарності векторів і єдиності розкладу вектора за базисом, приходимо до висновку:

, , .

Розв’язком цієї системи рівнянь є: Тоді

виходить, МН: СА1 = 1: 3.

Відповідь: 1: 3.

Скалярний добуток двох векторів

Задача 4

Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1. Яке найбільше значення може приймати кут нахилу його діагоналі до площини ?

Розв’язання.

Виберемо в просторі прямокутну систему координат з початком в точці D. Рівняння площини має вигляд:

Вектор перпендикулярний до площини . Позначимо шуканий кут через . Легко довести, що

Знаходимо Значить, де

З очевидної нерівності слідує, що

Звідки слідує, що:

і , причому тоді і тільки тоді, коли

Таким чином, і приймає найбільше значення, рівне лише за умови, що паралелепіпед є кубом.

Отже, якщо – напрямний вектор даної прямої і – вектор, перпендикулярний до площини то кут між прямою і даною площиною знаходиться з рівності

Величина кута між двома площинами обчислюється за визначенням від 0° до 90°. Якщо вектори і – вектори перпендикулярні відповідно площинам і то кут між даними площинами знаходиться з рівності

(даний кут або рівний куту між векторами і або доповнює його до 180°.)