6)Формула Стокса. Ця формула зв’язує криволінійний інтеграл по замкненому контуру L і поверхневий інтеграл по поверхні S, обмежений цим контуром. У векторній формі вона записується так: . ; ; Теорема Стокса: циркуляція вздовж будь-якого замкненого контура L дорівнює потоку ротора через поверхню S, обмежену цим контуром. Це перша інтегральна характеристика векторного поля.Ця формула встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом 2го роду по деякій поверхні S і криволінійним інтегралом 2го роду по кривій L, що обмежує цю поверхню. Нехай поверхня S має такі властивості: 1) гладка(кусково гладка) обмежена гладким(кусково гладким) контуром. 2) прямі, що паралельні координатним осям перетинають S не більше ніж в одній точці. 3) поверхня двостороння, тоді має місце така формула: ; ; . Зауваження: при S плоска і R=0 формула Гріна є формула Стокса.

7)Задача про роботу силового поля. Робота силового поля обчислюється двома шляхами: 1)в основу покладена властивість адитивності 2)основою даного розв’язку є формула Гріна: , де ;

1)Потр інтеграл – озн, фізичний смисл, теор існування. Нехай в деякій просторовій області V, обмеженій поверхнею S задана функція трьох змінних v=f(xyz). Побудуймо інтегральну суму. Розбиваємо тіло V на елементарні частини . Кожній з них виберемо довільну точку і знайдемо значення в них : . , де - об’єм елементарної частинки . Позначимо , 1≤i≤n. Означення: Якщо існує скінченна границя змінної , коли n→∞ і , і ця границя не залежить від способу поділу V на елементарні частини та вибору точок кожної з них , то функція u(x,y,z) називається інтегровна в області V, а сама границя називається потрійним інтегралом від f(x,y,z) в області V і позначається так: . Так як поділ області V довільний , то її можна розділити площинами x=const, y=const, z=const, тоді і . Тоді маємо : Фізичний смисл. Якщо в області V f(x,y,z)>0, то цей інтеграл можна розглядати, як масу тіла, що має густину f(x,y,z): m= Теорема існування:Якщо функція f(x,y,z) – неперервна в області V, то потрійний інтеграл існує

2)Потр інтеграл – озн, властивості. Означення: Якщо існує скінченна границя змінної , коли n→∞ і , і ця границя не залежить від способу поділу V на елементарні частини та вибору точок кожної з них , то функція u(x,y,z) називається інтегровна в області V, а сама границя називається потрійним інтегралом від f(x,y,z) в області V і позначається так: . Так як поділ області V довільний , то її можна розділити площинами x=const, y=const, z=const, тоді і . Тоді маємо : Властивості:1)Властивість лінійності. Якщо - інтегровані в області V , то , де λ і µ - сталі величини .2)Властивість аддетивності. Нехай функція f(x,y,z) – інтегровна в областях які мають спільну границю, при чому V= , тоді маємо : 3)Якщо в області V виконується нерівність f(x,y,z)≥ g(x,y,z), то .

3)Теор про оцінку потрійного інтегралу. Якщо функція f(x,y,z) – неперервна в замкнутій області то мають місце нерівності m*V≤ m і M- найменше і найбільше значення цієї функції в області .Доведення. Так як f(x,y,z) – неперервна в замкнутій області , то має місце нерівність m≤ .Інтегруючи цю нерівність одержимо : Винесемо сталий множник за знак інтеграла і тоді одержимо нерівність (1).

4)Теор про середнє значення функції для потрійного інтегралу. Якщо функція f(X,y,z) – неперервна в замкнутій області , то існує точка в якій

Доведення. Використовуючи теорему про оцінку потрійного інтегралу та властивість неперервної функції приймати проміжні значення, одержимо нерівність: m≤