Булевые функции от 1 и 2 переменных . Примеры

Рассмотрим примеры функций алгебры логики. Данные функции часто употребляются в математической логике и кибернетике и играют такую же роль, как, например, или в анализе, поэтому их можно считать "элементарными" функциями:

1. - константа 0;

2. - константа 1;

3. - тождественная функция;

4. - отрицание ( читается "не ");

5. - конъюнкция и (читается " и "). Вместо знака & употребляется знак ˙ или вообще знак опускается, т. е. пишут . Эту функцию часто называют логическим умножением;

6. - дизъюнкция и (читается " или "). Эту функцию часто называют логическим сложением;

7. - импликация и (читается "из следует "). Эту функцию часто называют логическим следованием;

8. - сложение и по mod 2;

9. или - функция Шеффера (штрих Шеффера).

10. функция Пирса (стрелка Пирса).

Заметим, что

, ,

, если .

Представим результаты перечисленных выше операций в виде таблицы 5.

Таблица 5

0	0	0	0	1	0	1	1
0	1	0	1	1	1	1	0
1	0	0	1	0	1	1	0
1	1	1	1	1	0	0	0

Условные обозначения логических элементов, выполняющих указанные операции:

а) б) в)

г ) д) е)

Р еализация функций формулами

Пример 1. Пусть - множество "элементарных" функций. Следующее выражение является формулами над подмножеством :

1. ;

2)

- это формула, а - символы из алфавита. Если нет скобок, то это выражение.

Пример 2.

Пусть функции, соответствующие формулам из примера 1.

1. Формула строится за три шага. Мы имеем следующие подформулы:

В таблице 6 приводятся соответствующие им функции, которые вычисляются с использованием таблицы 5. Последний столбец определяет функцию Очевидно, что

Таблица 6

0 0 0 1 1 0 1 1	0 0 0 1	0 0 1 0	0 1 1 1

Таблица 7

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	0 1 1 0 0 0 0 0

2. Функцию будем строить иным путем (также вытекающим из определения). Для каждого набора найдем (см. таблицу 7).

Введенный язык формул удобен для записи функций алгебры логики, описывающих различные условия или высказывания.