12. Условная вероятность. Вероятность произведения двух зависимых событий.

Условной вероятностью РА(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Пример: В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение: После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность Р_А(В) = 3/5.

Этот же результат можно получить по формуле: Р_А(В) = Р(АВ)/Р(А) (Р(А)>0).

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании Р(А)=3/6 = ½.

Найдем вероятность Р(АВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором – белый. Общее число исходов – совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений А²₆=6*5=30. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствует 3*3=9 исходов. Сл-но: Р(АВ) = 9/30=3/10.

Искомая условная вероятность Р_А(В) = Р(АВ)/Р(А) =(3/10)/(1/2) = 3/5.

Тот же результат.

Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению равна Р_А(В) = Р(АВ)/Р(А) (Р(А)>0).

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)Р_А(В).

Доказательство:

Пусть в результате опыта возможны N исходов, из них М благоприятствуют появлению события А, их этихМ- К исходов благоприятствуют событию В. Одновременному появлению событий А и В благоприятствуют L исходов из К.. По классической формуле имеем: Р(АВ)=L/N. Умножим и разделим на М:

Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при условии, что А уже произошло, т.е. условная вероятность события В, что и требовалось доказать.