Проверка статистических гипотез. Критерий Колмогорова.
Процедуру сопоставления высказанного предположения с выборочными данными называется проверкой гипотезы.
Задача статистической проверки гипотез: указать правило, по которому следует, отклонить гипотезу или не отклонять. Статистическим методами можно отвергнуть или не отвергнуть, но не доказывать.
Статистическая гипотеза – гипотеза, проверяемая по выборке из генеральной совокупности.
Статистические гипотезы разбиваются на 2 класса:
Гипотезы о параметрах распределения определенного вида.
Гипотеза о виде неизвестного распределения.
Выделяют нулевую гипотезу
,
другая альтернативная
,
гипотезу однозначно фиксирующей
распределение наблюдение называют
простой, в ней идет речь об одном
параметре, в противном случае сложной.
Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу называется статистическим критерием проверки .
По выборке из
.
- статистика критерия. В такой трактовке
статистика критерия сама является
случайной величиной с вероятностью
Основной принцип проверки гипотез.
Множество возможных
разбивают
на 2 не пересекаемых подмножества.
Критическая область
,
т.е. область отклонения от гипотезы
и
.
- наблюдаемое попадает в
,
то
принимается, а
отклоняется.
Ошибка 1-ого рода состоит в том, что отвергается , когда она на самом деле верна.
Ошибка 2-ого рода состоит в том, что отвергается , когда она на самом деле верна.
Вероятность
- ошибки 1-ого рода называется уровнем
значимости критерия.
- чем меньше
тем меньше вероятность отклонить
правильную гипотезу.
Вероятность
- ошибки 2-ого рода.
.
- мощность критерия.
Одновременное уменьшение ошибок 1- ого и 2-ого рода возможно при увеличении объема выборки.
Метод проверки гипотез:
Формирование гипотез и
Определение критической области.
Правосторонняя критическая область
Левосторонняя критическая область
Подсчитывается значение
Отвергается или подтверждается гипотеза
Критерий Колмогорова
Пусть
- эмпирическая функция распределения,
полученная на основании выборки
.
Теоретическая функция распределения
.
статистика Колмогорова.
При
закон
распределения случайной величины
-становиться универсальным.
Уже при
Найдем
- уровень значимости
при
Если
,
то гипотеза
не отвергается.