Три типи задач вибіркового метода.

1. Для заданих об’ємові вибірки та довірчому інтервалі знайти надійність оцінки (дано і , визначається .

2. При заданих об’ємові вибірки та надійності оцінки знайти довірчий інтервал (дано і , визначається та або ).

3. При заданих надійності оцінки та довірчому інтервалі знайти необхідний об’єм вибірки ( дано і , знаходиться ).

Приклад 1. За умовами результатів вибірки зарплати 100 співробітників фірми із її 1000 робітників визначити: а) імовірність того, що середня платня всіх робітників фірми відрізняється від середньої вибіркової платні не більше ніж на 5грн. в ту чи іншу сторону; б) границі, в яких з надійністю 0,9545 знаходиться середня платня всіх робітників фірми; в) об’єм вибірки, при якому з надійністю 0,9973 модуль відхилення середньої платні усіх робітників від вибіркової середньої платні не перевищить 5грн. Розглянути випадки повторної та безповторної вибірки.

Розв’язування. Дано: ознака - платня (кількісна ознака).

Генеральна сукупність: - кількість усіх робітників фірми; - середня платня усіх робітників (оцінюється). Вибірка: - об’єм; вибіркова середня платня, вибіркові дисперсія та стандарт .

а) Знаходимо середньоквадратичну похибку вибірки. Для повторної вибірки

. Довірча імовірність . Для безповторної вибірки , а надійність .

Отже, імовірність того, що вибіркова середньомісячна платня буде відрізнятися по модулю від середньомісячної платні всіх робітників фірми не більше, ніж на 5грн., буде дорівнювати 0,9827 для повторної і 0,9879 для безповторної вибірки.

б) Знаходимо граничні похибки повторної та безповторної вибірки за формулою , в якій (знаходиться як аргумент значення інтегральної функції Лапласа по таблиці).

Для повторної вибірки , а довірчий інтервал: або або грн.

Для безповторної вибірки , а довірчий інтервал: або або грн..

Отже, з надійністю 0,9545 можна стверджувати, що середньомісячна платня всіх робітників фірми буде від 321,4грн. до 329,8грн. у випадку повторної вибірки та від 321,62грн. до 329,58грн. у випадку безповторної вибірки.

в) Знаходимо аргумент значення інтегральної функції Лапласа по таблиці: . У формулу при підставимо усі відомі величини: , звідси для повторної вибірки; , звідси для безповторної вибірки.

Приклад 2. Із партії в 8000 телевізорів відібрано 800. Серед відібраних виявилось 10% нестандартних. Знайти: а) імовірність того, що частка стандартних телевізорів в усій партії відрізняється по модулю від отриманої частки таких телевізорів у вибірці не більш, ніж на 0,02; б) границі, в яких з імовірністю 0,95 знаходиться частка стандартних телевізорів в усій партії; в) кількість телевізорів, які потрібно відібрати, щоб з надійністю 0,9545 частка стандартних телевізорів серед відібраних відрізнялась від генеральної частки по модулю не більш, ніж на 0,03; г) як змінилися б результати попередніх пунктів, якби про частку нестандартних телевізорів взагалі не було б нічого відомо. Розглянути випадки повторної та безповторної вибірки.

Розв’язування. Дано: ознака - телевізор стандартний (якісна ознака).

Генеральна сукупність: - об’єм усієї партії; - частка стандартних телевізорів в усій партії (оцінюється). Вибірка: - об’єм; вибіркова частка стандартних телевізорів.

а) Знаходимо середньоквадратичну похибку вибірки для частки. Для повторної вибірки . Довірча імовірність . Для безповторної вибірки , а надійність .

Отже, імовірність того, що вибіркова частка стандартних телевізорів буде відрізнятися по модулю від генеральної частки не більше, ніж на 0,02, буде дорівнювати 0,9412 для повторної і 0,9523 для безповторної вибірки.

б) Знаходимо граничні похибки повторної та безповторної вибірки за формулою , в якій (знаходиться як аргумент значення інтегральної функції Лапласа по таблиці).

Для повторної вибірки , а довірчий інтервал: або або або .

Для безповторної вибірки , а довірчий інтервал: або або або .

Отже, з надійністю 0,95 можна стверджувати, що частка стандартних телевізорів в усій партії буде від 0,8792 до 0,9208 у випадку повторної вибірки та від 0,8802 до 0,9198 у випадку безповторної вибірки.

в) Знаходимо аргумент значення інтегральної функції Лапласа по таблиці: . У формулу при підставимо усі відомі величини: , звідси для повторної вибірки; , звідси для безповторної вибірки.

г) Якщо про частку нестандартних телевізорів нічого не відомо, то приймаємо добуток рівним максимальному можливому значенню .

Для повторної вибірки: а) , а довірча імовірність ; б) , а довірчий інтервал: або або або ; в) , звідси .

Для безповторної вибірки: а) , а надійність ; б) , а довірчий інтервал: або або або ; в) , звідси .

20