35. Дифференцирование сложной функции.

(суперпозицию двух и более функций мы называем также сложной функцией)

Теорема. Пусть функция определена на интервале , а функция определена на интервале , причем . Тогда если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и (1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу дифференцируемости функций и , соответственно, в точках и , имеем ; (2), и ; (3). Как известно (4), где - бесконечно малая при , причем без ущерба для общности можно считать, что , то есть можно считать, что функция непрерывна в точке . Из (3) и (4) следует, что . Подставляя сюда , и используя затем равенство (2), получим и, следовательно, (5).

Поскольку функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке и , то по теореме о непрерывности сложной функции .

А так как, кроме того, , то из (5) следует, что существует конечная производная и имеет место равенство (1). Для завершения доказательства теоремы остается вспомнить, что существование конечной производной равносильно дифференцируемости функции в точке 

Замечание. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда по определению дифференциала (6), и, в силу равенства (1), для сложной функции будем иметь или (7).

Считая точку произвольной (то есть заменяя на произвольное ). Равенства (6) и (7) записывают в виде (6¢), (7¢).

Эти формулы показывают, что формально вид дифференциала не меняется как при записи его через независимую переменную , так и при записи через зависимую переменную . В этом состоит, так называемое, свойство инвариантности дифференциала, который называют также первым дифференциалом.

36. Дифференцирование обратной функции.

n^o1. Теорема об обратной функции к непрерывной строго монотонной функции.

Прежне всего напомним, что по следствию из второй теоремы Больцано-Коши если функция определена и непрерывна на конечном или бесконечном промежутке , то множество ее значений также есть промежуток , где .

Это утверждение дополняет следствие из второй теоремы Вейерштрасса:

Множество значений непрерывной на отрезке функции является отрезком , где , .

В свою очередь, последнее утверждение дополняет следующая Теорема 1 (критерий непрерывности монотонной функции). Для того, чтобы монотонная на отрезке функция была непрерывной на нем, необходимо и достаточно, чтобы множество ее значений было отрезком.

Напомним также, что справедлива следующая важная Теорема 2 (об обратной функции к непрерывной, строго монотонной). Пусть функция непрерывна и строго монотонна на отрезке . Тогда существует обратная к ней функция , которая является непрерывной и строго монотонной в том же смысле, что и функция .

Следствие. Пусть функция непрерывна и строго монотонна на произвольном промежутке . Тогда обратная к ней функция непрерывна и строго монотонна (в том же смысле что и функция ) на промежутке .

n^o1. Теорема о дифференцировании обратной

Теорема 3. Пусть функция строго монотонна и непрерывна в окрестности точки . Пусть, кроме того, функция дифференцируема в точке и . Тогда обратная к ней функция дифференцируема в точке , причем (1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий теоремы следует, что существует конечный, отличный от нуля предел . Тогда по теореме о пределе частного существует конечный предел (2). Рассмотрим функцию (3).

В силу строгой монотонности функции она определена в проколотой окрестности точки . В точке функция имеет конечный предел (2). Поэтому если доопределить ее в этой точке равенством ,

то она будет непрерывной в этой точке. Тогда учитывая, что функция непрерывна в точке (как обратная к непрерывной, строго монотонной функции ), по теореме о непрерывности суперпозиции заключаем, что сложная функция будет непрерывной в той же точке и, следовательно, (4).

Но в силу (3) в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство . Поэтому из (4) следует, что функция дифференцируема в точке и имеют место равенства (1) □