Потенциальная энергия тела в поле гравитационной, кулоновской и упругой сил

Потенциальной энергией U взаимодействующих тел назы-

вается энергия, зависящая от взаимного расположения этих тел.

Работа консервативных сил равняется разности двух

выражений, являющихся функциями координат начала и кон-

ца траектории, т. е. изменению потенциальной энергии системы

взаимодействующих тел: A = UX- U2. U_упр=kx^2/2

Очевидно, что потенциальная энергия равна нулю при х = О,

т. е. в том случае, когда пружина не деформирована.

Для кулоновских сил: U_кул=q₁q₂/4ε₀πr Заметим, что здесь потенциальная энергия стремится к нулю в том случае, когда расстояние между взаимодействующими за-

рядами неограниченно возрастает (г —> оо). Если заряды q₁ и q₂

имеют одинаковый знак, то между ними действует сила отталки-

вания, а потенциальная энергия является положительной величи-

ной. Если же заряды q₁ и q₂ имеют разные знаки, то между ними

действует сила притяжения и потенциальная энергия является

отрицательной величиной. Потенциальная энергия гравитационных сил:

U_грав=-Gm₁m₂/r Здесь потенциальная энергия является отрицательной величи-

ной, ибо гравитационная сила является силой притяжения. При

неограниченном увеличении расстояния между взаимодействую-

щими телами (г —> оо) потенциальная энергия стремится к нулю,

т. е. возрастает за счет работы внешней силы, которая увеличи-

вает расстояние между взаимодействующими телами.

Значение потенциаль ной энергии силы тяжести вблизи поверхности Земли:

U=GmMh/R(R+h) При небольших высотах имеем приближенное выра-

жение U = mgh. Последние два выражения часто называют потенциальной

энергией тела в гравитационном поле. Такая терминология не

вполне точна: фактически потенциальной энергией обладает не

само тело, а система, состоящая из Земли и этого тела. Однако

если об этом не забывать, подчеркивая наличие гравитационного

поля (которое создается Землей), то такое словоупотребление не

принесет вреда. Аналогично можно говорить о потенциальной

энергии заряда в электрическом поле. Но совершенно недопусти-

мо говорить просто о потенциальной энергии тела, не указывая

на поле, в котором находится это тело. Заметим, что потенциальную энергию мы можем найти лишь с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Дей-

ствительно, прибавим ко всем значениям потенциальной энергии

некоторую константу; новое значение потенциальной энергии U’

выразится так: U’ = U + const. При таком преобразовании потенциальной энергии работа не из- менится. Действительно, А’= U’ – U’ = (U₁ + const) - (U₂ + const) = U₁ - U₂=A.

Полученный результат часто формулируется следующим образом: нулевой уровень потенциальной энергии может быть вы- бран произвольно; при переходе к другому нулевому уровню значения потенциальной энергии во всех точках изменяются на одно

и то же слагаемое; работа же силы сохраняет свою величину.

Связь между потенциальной энергией и консервативной силой

Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы при переходе ее из точки 1 в точку 2. в системе с одними только консервативными (и гироскопическими) силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это положение называется законом сохранения энергии в механике. Работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из некоторого положения в нулевое, называется потенциальной энергией U системы в этом положении. Работа консервативных сил не зависит от пути перехода, а поэтому потенциальная энергия системы при фиксированном нулевом положении зависит только от координат материальных точек системы в рассматриваемом положении. Иными словами, потенциальная энергия системы U является функцией только ее координат.