1. Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

2. Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы, т.е. определитель матрицы А

Δ = det (a_ij)

и n вспомогательных определителей Δ_i (i = ), которые получаются из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

Δ · x_i = Δ_i (i = ). (1)

Из (1) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы: если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x_i = Δ_i / Δ.

Если главный определитель системы Δ и все вспомогательные определители Δ_i = 0 (i = ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы Δ = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

3. Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.

det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы совпадает с вектором C = A^-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X = C, C = A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

№27. Представление чисел в памяти ЭВМ. Приближенные числа. Погрешность решения вычислительных задач, ее источники.

Существуют два способа представления чисел в памяти ЭВМ. Они называются так: форма с фиксированной точкой и форма с плавающей точкой. Форма с фиксированной точкой применяется к целым числам, форма с плавающей точкой — к вещественным числам (целым и дробным). Под точкой здесь подразумевается знак-разделитель целой и дробной части числа. Приближен­ным числом а называется число, незначительно отличающееся от точ­ного числа А и заменяющее его в вычислениях. Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением Δx = |x – x0|. Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу e(x)= Δx/ x0 Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами (источниками): 1. Математическое описание задачи является неточным, в частности, неточно заданы исходные данные описания.2. Применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому вместо получения точного решения приходится прибегать к приближенному.3. При выполнении арифметических операций на ЭВМ или любым другим образом, как правило, производятся округления. (Это же относится к вводу чисел в память ЭВМ и выводу полученных результатов.) Погрешности, соответствующие этим причинам, называются: неустранимая погрешность, погрешность метода, вычислительная погрешность.

№28. Прямые вычислительные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод оптимального исключения.

ыва

№29. Итерационные вычислительные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простой итерации.

Рассмотрим систему:

Для неё итерационное вычисление буде т выглядеть так:

Сходимость методу будет осуществлять

Алгоритм:

1. Условие преобразуется к виду , где — сжимающая

2. Задаётся начальное приближение и точность

3. Вычисляется очередная итерация

- Если , то и возврат к шагу 3.

- Иначе и остановка.