Пример – игра «Поиск»

Игрок А может спрятаться в убежище 1 – обозначим эту стратегию за А₁ или в убежище 2 – стратегия А₂. Игрок В может искать первого игрока в убежище 1 –стратегия В₁, либо в убежище 2 – стратегия В₂. Если игрок А находится в убежище 1 и его там обнаруживает игрок В, т.е. осуществляется пара стратегий (А₁,В₁), то игрок А платит штраф, т.е. a₁₁=–1. Аналогично получаем a₂₂=–1. Очевидно, что стратегии (А₁,В₂) и (А₂,В₁) дают игроку А выигрыш 1, поэтому a₁₂=a₂₁=1. Таким образом, получаем платежную матрицу

Рассмотрим игру m  n с матрицей Р=(a_ij) и определим наилучшую среди стратегий игрока А. Выбирая стратегию А_i, игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий В_j, для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится «навредить» игроку А).

Обозначим через _i наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А_i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т.е. .

Среди всех чисел _i выберем наибольшее: . Назовем  нижней ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно, .

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию B_j, он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для A. Обозначим .

Среди всех чисел выберем наименьшее иназовем  верхней ценой игры, или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В при любой стратегии игрока А. Следовательно, .

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией. Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее осторожных минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса.

Статистические игры

Во многих задачах, приводящихся к игровым, неопределенность вызвана отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие. Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности, которую принято называть «природой». Такие игры называют играми с природой (статистическими играми).

Задача

После нескольких лет эксплуатации промышленное оборудование оказывается в одном из следующих состояний: В₁ – оборудование может использоваться в очередном году после профилактического ремонта; В₂ – для безаварийной работы оборудования в дальнейшем следует заменить отдельные его детали и узлы; В₃ – оборудование требует капитального ремонта или замены.

В зависимости от сложившейся ситуации В₁,В₂,В₃ руководство предприятия может принять такие решения: А₁– отремонтировать оборудование силами заводских специалистов, что требует соответствующих затрат а₁=6, а₂=10, а₃=15 ден.ед; А₂ – вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b₁=15, b₂=9, b₃=18 ден.ед; А₃ – заменить оборудование новым, реализовав устаревшее оборудование по его остаточной стоимости. Совокупные затраты в результаты этого мероприятия будут равны соответственно с₁=13, с₂=24, с₃=12 ден.ед.