Глава 6. Непрерывные случайные величины.

Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения F_(x) и вычислить вероятность .

Задача 2. Для случайной величины  из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Задачи для самостоятельного решения

9. Случайная точка А имеет в круге радиуса R равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния  точки до центра круга. Показать, что величина ² равномерно распределена на отрезке 0, R².

10. Плотность распределения случайной величины имеет вид: Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность

11. Плотность распределения случайной величины имеет вид: Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность

12. Плотность распределения случайной величины имеет вид: Вычислить константу C, функцию распределения F(x), и вероятность

13. Плотность распределения случайной величины имеет вид: Вычислить константу C, функцию распределения F(x), , дисперсию и вероятность

14. Случайная величина имеет функцию распределения Вычислить плотность случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и вероятность

15. Проверить, что функция = может быть функцией распределения случайной величины. Найти числовые характеристики этой величины:  и D.

Глава 7. Примеры распределения случайных величин

Распределение Бернулли (или биномиальное распределение) определяется как закон распределения случайной величины, равной числу успехов в n испытаниях Бернулли. Эта случайная величина  может принять любое из значений 0, 1, 2, …, n, а их вероятности определяются формулой Бернулли: если p – вероятность успеха, q – вероятность неудачи, то

,

Распределение Пуассона. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона, может принять любое из значений 0, 1, 2, … (счетное множество значений), а их вероятности задаются формулой

, 0.

Геометрическое распределение имеет случайная величина , равная числу испытаний Бернулли до первого «успеха» (включительно) с вероятностью «успеха» в одном испытании равном р. Такая случайная величина принимает значения =1, 2, 3,…, а их вероятности задаются формулой:

Гипергеометрическое распределение определяется, например, в задаче о выборке деталей. Пусть имеется N деталей, из которых M – стандартные. Делается выборка из n деталей. Случайная величина  определяется как число стандартных деталей в такой выборке. Оно может равняться любому числу от 0 до n, но, конечно, не больше, чем М, т.е. m=0,1,2,…,min(n,M). Вероятности этих значений определяются гипергеометрической формулой

,

Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина  имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если плотность распределения р_(x) сохраняет постоянное значение на этом промежутке:

Функция распределения F_(x) равномерно распределенной случайной величины равна

F_(x)=

Математическое ожидание и дисперсия ; .

Показательное (экспоненециальное) распределение. Непрерывная случайная величина , принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром >0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна

р_(x)=

Функция распределения показательного распределения имеет вид

F_(x)=

а математическое ожидание и дисперсия равны М= , D= .

Нормальное распределение (распределение Гаусса). Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами и , если ее плотность распределения равна

.

Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами и .

Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна

.

Параметры нормального распределения суть математическое ожидание и дисперсия

В частном случае, когда и нормальное распределение называется стандартным, и класс таких распределений обозначается .

В этом случае плотность стандартного распределения равна

,

а функция распределения

Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), и потому для функции составлены таблицы. Функция связана с введенной в главе 4 функцией Лапласа

,

следующим соотношением . В случае же произвольных значений параметров и функция распределения случайной величины связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:

.

Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле

.

Неотрицательная случайная величина  называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм =ln подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны М= и D= .

Распределение Лапласа задается функцией f_(x)= e^-x, -х. (двусторонняя показательная плотность).

Функция плотности распределения симметрична относительно нуля и М=Х_med=X_mod=0 и асимметрия -_=0. Дисперсия в два раза больше дисперсии случайной величины, распределенной по показательному закону D= = и эксцесс равен _=3.

Задачи для самостоятельного решения

1. На станцию обслуживания заявки поступают случайно в соответствии с распределением Пуассона с параметром . Мощность станции позволяет обслуживать не более 2 заявок в единицу времени. Найти вероятность того, что в течение данной единицы времени: а) станция не справится с потоком заказов и образуется очередь; б) станция обслуживания будет простаивать или работать не на полную мощность; в) на станции обслуживания не образуется очередь.

2. В процессе производства изделие высшего качества удается получить только с вероятностью 0,2. С конвейера берутся наугад детали до тех пор, пока не будет взято изделие высшего качества. Найти математическое ожидание числа проверенных изделий.

3. Сдача экзамена по математике производится до получения положительного результата. Шансы сдать экзамен остаются неизменными и составляют 20%. Найти математическое ожидание числа попыток сдачи экзамена.

4. 16. Случайная величина равномерно распределена не отрезке 2 ; 6. Выписать плотность распределения. Найти функцию распределения. Найти вероятность попадания случайной величины на отрезок 2, 5 и на отрезок 5; 7.

5. 17. Плотность распределения  равна

6. .

7. Найти постоянную с, плотность распределения  = и вероятность Р (0,25<0,64).

8. 18. Время безотказной работы ЭВМ распределено по показательному закону с параметром  = 0,05 (отказа в час), т.е. имеет функцию плотности

9. р(х) = .

10. Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение 15 минут. Если за время решения задачи произошел сбой, то ошибка обнаруживается только по окончании решения, и задача решается заново. Найти: а) вероятность того, что за время решения задачи не произойдет ни одного сбоя; б) среднее время, за которое будет решена задача.

11. Стержень длины 24 см ломают на две части; будем считать, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равна средняя длина большей части стержня?

12. Отрезок длины 12 см случайным образом разрезается на две части. Точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Чему равна средняя длина малой части отрезка?

13. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [1,3]. Найти плотность распределения случайной величины .

14. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [-1,1]. Найти плотность распределения случайной величины

15. Случайная величина имеет функцию распределения . Найти функцию распределения случайной величины

16. Случайная величина  имеет стандартное нормальное распределение (с параметрами а = 0 и ² = 1). Найти плотность случайной величины .

17. Случайная величина  имеет показательное распределение с параметром . Найти функции плотности распределения случайных величин:

18. а) ₁=  ; б) ₂ =²; в) ₃= г) .

19. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке 0, 1. Найти плотности распределения случайных величин:

20. а) ₁ = 2 + 1; б) ₂ =-ln(1-); в) ₃ = .

21. Показать, что если  имеет непрерывную функцию распределения F(x) = P(x), то случайная величина = F() имеет равномерное распределение на отрезке 0, 1.